Schwarzschilds løsning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

Schwarzschilds løsning betegner en løsning av Albert Einsteins feltligninger i den generelle relativitetsteorien, først oppdaget av Karl Schwarzschild. Det finnes to typer av Schwarzschilds løsning, én som beskriver tidrommet utenfor en statisk, sfærisk-symmetrisk massefordeling, den såkalte ytre løsningen eller vakuumløsningen, og en indre løsning som beskriver gravitasjonsfeltet innenfor en tilsvarende inkompressibel massefordeling.

Schwarzschilds ytre løsning[rediger | rediger kilde]

Schwarzschilds ytre løsning er en eksakt løsning av feltligningene på formen

med et linjeelement på formen

som utgangspunkt. Løsningen til en massefordeling med masse M blir da

hvor .

I disse koordinatene (Schwarzschild-koordinater) har løsningen en koordinatsingularitet i

som kalles Schwarzschild-radien og definerer hendelseshorisonten til en massefordeling. Dersom utstrekningen til en massefordeling er mindre enn Schwarzschild-radien sier vi at den har kollapset til et sort hull.

Singulariteter og analytisk forlengelse av Schwarzschildtidrommet[rediger | rediger kilde]

Fra linjeelementet i Schwarzschildkoordinater har vi to singulariteter, Schwarzschildradien og r = 0. Fra Kretschmanns krumningsskalar ser vi at det er kun singulariteten i origo som er en fysisk singularitet:

Schwarzschild-koordinatene er medbevegende med et statisk referansesystem utenfor en massefordeling. Dersom massefordelingen har kollapset til et sort hull kan vi ikke ha et statisk observatør innenfor hendelseshorisonten i en endelig avstand fra origo. Schwarzschild-koordinatene er ikke veldefinert innenfor hendelseshorisonten. Man kan da ta i bruk nye koordinater introdusert av Kruskal og Szekeres. Med disse koordinatene er linjeelementet gitt som

hvor er Schwarzschildradien og

Dette er den første formen av Kruskal-Szekeres-linjelementet. Ved å innføre koordinatene

får vi andre form av Kruskal-Szekeres-linjeelementet