Kumulativ fordelingsfunksjon

Kumulativ fordelingsfunksjon for eksponentialfordelingen

Kumulativ fordelingsfunksjon for normalfordelingen

Den kumulative fordelingsfunksjonen beskriver en sannsynlighetsfordeling for en stokastisk variabel innenfor matematisk statistikk. For en stokastisk variabel X, med sannsynlighetsfunksjonen P(x), defineres den kumulative fordelingsfunksjonen F_X(x) som:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$

Den kumulative fordelingsfunksjonen er monotont stigende og har, blant annet, alltid følgende egenskaper:

• $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,$

• $\lim _{x\to \infty }F(x)=1,$

• $0\leq F(x)\leq 1.$

For en diskret stokastisk variabel som kan anta verdiene x₁, x₂... er F diskontinuerlig i punktene x_i og har konstant verdi mellom dem, det vil si at den har et trappetrinnlignende utseende.

For en kontinuerlig stokastisk variabel er F lik

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt$

der f(t) er tetthetsfunksjonen (eller frekvensfunksjonen) for variabelens fordeling.

Sannsynligheten for at en stokastisk variabel skal anta verdier større enn a og mindre eller lik b kan finnes ved:

$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$

Tabell over verdiene hos den kumulative normalfordelingsfunksjonen ligger her. Andre fordelinger har andre tabeller.

Egenskaper

Hvis X er en diskret stokastisk variabel, med verdier X₁, X₂, ... med punktsannsynlighet p_i=p(x_i)

$F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})$

Hvis X er en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjon f(x), er kumulative fordelingen gitt ved:

$F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Da er det viktig å ha i bakhodet at en kontinuelig sannsynelighetstetthet f(x) har en kumulativ fordeling:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$