Kategori (matematikk)

I matematikken kan egenskaper til mange matematiske systemer uttrykkes ved hjelp av diagrammer bestående av piler. Ved å innføre kategorier kan man formalisere denne ideen.

Definisjon

En kategori ${\mathcal {C}}$ består av en klasse objekter og for hvert par $a,b$ av objekter en mengde ${\mathcal {C}}(a,b)$ av morfier fra $a$ til $b$ og for hvert trippel $a,b,c$ av objekter en sammensettingsfunksjon $\circ :{\mathcal {C}}(b,c)\times {\mathcal {C}}(a,b)\to {\mathcal {C}}(a,c)$ slik at følgende aksiomer holder

• Assosiativitet av sammensetningen: Hvis $f\in {\mathcal {C}}(a,b)$, $g\in {\mathcal {C}}(b,c)$ og $h\in {\mathcal {C}}(c,d)$, så er $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.
• Enhet: For hvert objekt $a$ finnes en identitetsmorfi $1_{a}\in {\mathcal {C}}(a,a)$, og $f\circ 1_{a}=f$ og $1_{a}\circ g=g$.

Eksempler

• Mengder og funksjoner er en kategori.
• Topologiske rom og kontinuerlige funksjoner er en kategori.
• En kategori med kun ett objekt er en monoide.