Cauchyfølge

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En Cauchyfølge eller en fundamentalfølge er en følge av elementer i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg. Velger en et vilkårlig positivt tall kan en alltid finne to elementer i følgen slik av avstanden mellom disse elementene er mindre enn det valgte tallet. Navnet har følgene fått etter matematikeren Augustin Louis Cauchy.

Cauchyfølger spiller en svært viktig rolle i studiet av konvergens for følger, blant annet fordi de gjør det mulig å studere konvergens uten å ha kjennskap til grenseverdien som følgene konvergerer mot. I et komplett metrisk rom vil en Cauchyfølge alltid være konvergent, og omvendt. Dette gjelder for eksempel for Cauchyfølger av reelle tall, såkalte tallfølger.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

La S være et metrisk rom utstyrt med metrikken d. En følge \{x_n\} av elementer i S er en Cauchyfølge dersom det for enhver \epsilon > 0 eksisterer et naturlig tall N slik at

d(x_n,x_m) < \epsilon \ \  \forall \, n,m \geq N.

For et metrisk rom som består av reelle tal bruker en vanligvis metrikken

d(x_n,x_m) = | x_n - x_m | \,

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

  • I et vilkårlig metrisk rom vil en konvergent følge alltid være en Cauchyfølge. Det motsatte er ikke generelt tilfelle: en følge kan være en Cauchyfølge uten å være konvergent.
  • I et kompakt metrisk rom vil en Cauchyfølge alltid være konvergent og ha en grenseverdi i rommet.

Komplette metriske rom[rediger | rediger kilde]

Et metrisk rom S sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i S.

Mengden av reelle tall R er et eksempel på et komplett metrisk rom. Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall Q, dvs tall som kan skrives som en brøk. I Q er det muleg å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall. Ett eksempel er gitt i det følgende:

\begin{array}{lll}
x_1 &= 1 \\
x_n &= {1 \over 2}(x_{n-1} + {2 \over x_{n-1}} ) &n > 1 \\
\end{array}

Alle elementene er rasjonale, men følgen konvergerer mot kvadratroten av to, som er et irrasjonalt tall.

Cauchy-kriteriet[rediger | rediger kilde]

Cauchy-kriteriet for en følge av reelle tall sier at følgen er konvergent hvis og bare hvis følgen er en Cauchyfølge.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill International Book Co., Singapore. ISBN 0-07-085613-3.