Bestemthet (matriser)

I lineær algebra sies en symmetrisk, reell n × n-matrise ${\textstyle M}$ å være positivt bestemt (også kalt positivt definitt) dersom skalaren ${\textstyle z^{\mathrm {T} }Mz}$ er positiv for enhver ikke-null kolonnevektor $z$ av $n$ reelle tall. Her symboliserer $z^{\mathrm {T} }$ den transponerte av $z$.

Mer generelt sies en Hermitsk n × n-matrise ${\textstyle M}$ å være positivt bestemt hvis skalaren ${\textstyle z^{*}Mz}$ er reell og positiv for alle ikke-null kolonnevektorer $z$ av $n$ komplekse tall. Her symboliserer $z^{*}$ den konjungerte transponeringen av $z$.

En Hermitesk matrise sies å være negativt bestemt  (negativt definitt) dersom uttrykket ${\textstyle z^{\mathrm {T} }Mz}$ eller ${\textstyle z^{*}Mz}$ alltid er negativt. Matrisen kalles semi-positivt bestemt dersom uttrykket ${\textstyle z^{\mathrm {T} }Mz}$ eller ${\textstyle z^{*}Mz}$ er ikke-negativ (større enn eller lik null), og semi-negativt bestemt dersom uttrykket er ikke-positivt (mindre enn eller lik null).

En Hermitesk matrise som hverken er positivt bestemt, negativt bestemt, semi-positivt bestemt eller semi-negativt bestemt, kalles ubestemt (indefinitt).

Noen forfattere bruker mer generelle definisjoner av positivt og negativt bestemthet, som inkluderer noen ikke-symmetriske reelle matriser, eller ikke-Hermiteske komplekse matriser.

Egenverdier

• En Hermitesk n × n-matrise er positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er positive.
• En Hermitesk n × n-matrise er negativt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er negative.
• En Hermitesk n × n-matrise er semi-positivt bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-negative (større enn eller lik null).
• En Hermitesk n × n-matrise er semi-negativ bestemt hvis og bare hvis alle dens egenverdier er ikke-positive (mindre enn eller lik null).
• En Hermitesk n × n-matrise er ubestemt hvis og bare hvis den har både positive og negative egenverdier.

Eksempler

• Identitetsmatrisen $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ er positivt bestemt. Sett som en reel matrise, er den symmetrisk, og for enhver ikke-null kolonnevektor z med reelle elementer a og b, har vi

$z^{\mathrm {T} }Iz={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}$.

Sett som en kompleks matrise, for enhver ikke-null kolonnevektor z med komplekse elementer a og b, har vi

$z^{*}Iz={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{*}a+b^{*}b=|a|^{2}+|b|^{2}$.

Uansett er resultatet positivt, siden z ikke er nullvektoren (det vil si at minst én av elementene a og b er forskjellig fra null).

• Den reelle symmetriske matrisen

$M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}$

er positivt bestemt, siden for enhver ikke-null kolonnevektor z med elementer a, b og c, har vi

${\begin{aligned}z^{\mathrm {T} }Mz=(z^{\mathrm {T} }M)z&={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=2{a}^{2}-2ab+2{b}^{2}-2bc+2{c}^{2}\\&={a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}.\end{aligned}}$

Dette resultatet er en sum av kvadrater, og derfor ikke-negativt. Dessuten er det bare null hvis a = b = c = 0, men det skjer kun hvis z er nullvektoren.

• Den reelle symmetriske matrisen

$N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}$

er ikke positivt bestemt. Hvis z er vektoren ${\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}$, har vi $z^{\mathrm {T} }Nz={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=-2<0.$

• For enhver ikke-singulær matrise $A$ er produktet $A^{\mathrm {T} }A$ en positivt bestemt matrise. Et enkelt bevis er at for enhver ikke-null vektor $z$, gjelder$z^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Az=\|Az\|_{2}^{2}>0,$ siden den ikke-singulære matrisen $A$ betyr at $Az\neq 0.$

Eksemplene M og N ovenfor viser at en matrise med noen negative elementer likevel kan være positivt bestemt, og motsatt, at en matrise med bare positive elementer ikke nødvendigvis er positivt bestemt.