Relasjonsalgebra

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Relasjonsalgebra er et formelt matematisk språk brukt til å beskrive matematiske relasjoner og til å konstruere nye relasjoner mellom relasjonene. Relasjonsalgebra er en type predikatlogikk.

Historie[rediger | rediger kilde]

Relasjonsalgebra ble først beskrevet av Edgar F. Codd i 1970, som et modelleringsspråk for hans relasjonsmodell for data. Dette språket var ment å være en basis for databasers spørrespråk. Senere databaseadministrasjonssystemer har brukt språk som i større eller mindre grad har vært bygget på Codds idéer, med enkelte tillegg. Språket SQL er delvis basert på relasjonsalgebraen.

Introduksjon[rediger | rediger kilde]

Som annen algebra er relasjonsalgebra basert på atomiske operander og på operatorer.

I relasjonsalgebraen er de atomiske operandene enten variable, som betegner relasjoner, eller konstanter, som er endelige relasjoner. I klassisk relasjonsalgebra er alle operander mengder, det samme vil da gjelde resultatene av relasjonsalgebraiske uttrykk.

Operasjoner[rediger | rediger kilde]

Det finnes fire hovedgrupper operasjoner:

  1. De vanlige mengdeoperandene – union, snitt og differens
  2. Operasjoner som fjerner deler av en relasjon – projeksjon og seleksjon
  3. Operasjoner som kombinerer tuplerKartesiske produkter og forskjellige «joiner»
  4. Operasjoner som ikke forandrer tuplene i relasjonene, men f.eks. endrer navn på attributter

Grunnleggende mengdeoperasjoner[rediger | rediger kilde]

De tre grunnleggende operasjonene i mengdelæren gjelder også i relasjonsalgebraen.

Unionen av relasjonene R og S er mengden elementer som finnes i R eller i S eller i begge. Et element som finnes i begge relasjonene vil bare finnes én gang i unionen av relasjonene. Notasjonen for en union mellom R og S er RS.

Snittet av relasjonene R og S er mengden elementer som finnes i både R og S. Notasjonen for dette er RS.

Differansen mellom relasjonene R og S er mengden elementer som er i R men ikke i S. Det finnes to måter å skrive dette på, enten RS eller R \setminus S.

For at disse tre operasjonene skal være gyldige må R og S har identiske attributter. Domenene til attributtene må også være like.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Har man de to relasjonene R og S

R:
A B C
1 2 3
4 5 6
S:
A B C
7 8 9
4 5 6

vil unionen, snittet og differansen bli som følger:

R ∪ S:
A B C
7 8 9
4 5 6
1 2 3
R ∩ S:
A B C
4 5 6
R \ S:
A B C
1 2 3

Projeksjon[rediger | rediger kilde]

Projeksjonsoperatoren brukt på en relasjon R vil frembringe en ny relasjon som bare har enkelte av attributtene til R. En projeksjon skrives \pi_{a_1, ...,a_n}( R ), der a_1,...,a_n er en mengde attributtnavn og R er en relasjon.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

R:
A B C
1 2 3
4 5 6
\pi_{A,B}(R):
A B
1 2
4 5
\pi_{A}(R):
A
1
4

Gjør man projeksjonen \pi_{A,B}( R ) vil bare kolonnene A og B fra R komme med i den nye relasjonen. Med projeksjonen \pi_{A}( R ) vil bare kolonne A fra R beholdes.

Seleksjon[rediger | rediger kilde]

Seleksjonsoperatoren brukt på en relasjon R gir en ny relasjon som har en undermengde tuplene i R. Tuplene som blir med er de som tilfredsstiller en betingelse C som går på attributter i R. Seleksjon skrives \sigma_{C}(R), der C er betingelsen og R en relasjon.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

R:
A B C
1 2 4
4 6 7
1 6 7
8 6 1
\sigma_{A=1}(R):
A B C
1 2 4
1 6 7
\sigma_{C>6}(R):
A B C
4 6 7
1 6 7

Gjør man seleksjonen \sigma_{A=1}(R) vil alle tupler som ikke har verdien 1 for attributtet A forsvinne. Med seleksjonen \sigma_{C>6}(R) vil alle tupler som ikke har en verdi større enn 6 for attributtet C forsvinne.

Kartesisk produkt[rediger | rediger kilde]

Det kartesiske produktet (også kalt kryssprodukt) av de to relasjonene R og S er mengden par som skapes ved å pare alle elementer i R med alle elementene i S. Dette skrives R\times S. Da elementene i R og S er tupler vil resultatet av å pare et tuppel fra R med et tuppel fra S bli et tuppel med en lengde som er lik summen av lengden på tuplene i R og i S. Komponentene i dette nye tuplet vil være komponentene i de to opprinnelige tuplene.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

R:
A B C D
1 2 3 4
4 5 6 7
7 8 9 0
S:
E F G
1 2 3
7 8 9
R\times S:
A B C D E F G
1 2 3 4 1 2 3
4 5 6 7 1 2 3
7 8 9 0 1 2 3
1 2 3 4 7 8 9
4 5 6 7 7 8 9
7 8 9 0 7 8 9

Omnavning[rediger | rediger kilde]

Man kan ofte ønske å gi relasjoner eller attributter nye navn. Vil man gi relasjonen R det nye navnet S skrives dette \rho_{S(A_1, ...,A_n)}(R), der A_1, ...,A_n er attributtnavnene i den nye relasjonen S.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

R:
A B C
1 2 3
4 5 6
\rho_{S(D,E,F)}(R):
D E F
1 2 3
4 5 6

Her har relasjonen fått det nye navnet S, samtidig som attributtene har fått nye navn. Verdiene i tuplene har ikke blitt endret.

Joiner[rediger | rediger kilde]

En join er en spesiell form for produkt der relasjoner pares på bestemte måter.

I en naturlig join mellom relasjonene R og S pares tuplene i de to relasjonene på de attributtene de har felles. Dette skrives  R \triangleright\!\!\triangleleft\, S. Tupler som ikke matcher tupler i den andre relasjonen på ett eller flere felles attributter blir ikke med i den nye relasjonen.

En Theta-join mellom to relasjoner R og S fungerer som en naturlig join, med det unntak at tupler pares på en bestemt betingelse, kalt θ. Dette skrives R \triangleright\!\!\triangleleft\,_{\mathrm{\theta}} S.

En Outer join er en join der tupler som ikke overholder kravet i joinen likevel blir med i produktet. En outer join på relasjonene R og S gjøres ved å gjøre en join mellom de to relasjonene, deretter legges de mistede tuplene inn igjen med en nullverdi i attributtene de mangler.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

R:
A B C D
1 2 3 4
4 5 6 7
7 8 9 0
S:
A F G
1 2 3
7 8 9
 R \triangleright\!\!\triangleleft\, S:
A B C D F G
1 2 3 4 2 3
7 8 9 0 8 9

Tar man en naturlig join på relasjonene R og S vil resultatet bli en ny relasjon der tuplene er matchet på felles attributter. I dette eksempelet vil tupler som har samme verdi for attributtet A bli paret.

R:
A B C D
1 2 3 4
4 5 6 7
7 8 9 0
S:
E F G
1 2 3
7 8 9
R x S:
A B C D E F G
1 2 3 4 1 2 3
4 5 6 7 1 2 3
7 8 9 0 1 2 3
1 2 3 4 7 8 9
4 5 6 7 7 8 9
7 8 9 0 7 8 9
R \triangleright\!\!\triangleleft\,_{\mathrm{A=E}} S:
A B C D E F G
1 2 3 4 1 2 3
7 8 9 0 7 8 9

En theta-join mellom to relasjoner vil først føre med seg et kryssprodukt av relasjonene. Deretter fjernes alle tupler som ikke overholder betingelsen(e). Betingelsen i dette eksempelet er at tuplene må ha samme verdi for attributtene A og E.


Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Codd, Edgar F. : «A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks» i «Communications of the ACM» 6/13/1970, s. 377–387. (PDF-versjon, 1,4 MB)