Proporsjonalitet

I matematikk er proporsjonalitet når to størrelser varierer slik at forholdet mellom størrelsene er konstant.

Definisjon

Når $y$ og $x$ er proporsjonale størrelser, kan vi skrive

$y=k \cdot x\,$

Der $k$ er proporsjonalitetsfaktoren.

Man kan videre finne $k$ slik

$k=y/x\,$

Eksempler

• Praktisk kan vi si at to størrelser er proporsjonale om en dobling av den ene størrelsen fører til en dobling av den andre størrelsen.
• Om du kjører med konstant fart, er distansen du tilbakelegger, proporsjonal med tiden du bruker. Det ser vi av formelen for konstant fart $s=v*t$, hvor farten $v$ er proporsjonalitetsfaktoren.
• Omkretsen av en sirkel er proporsjonal med radius i sirkelen, og $2*\pi$ er proporsjonalitetsfaktoren etter formelen $O=2*\pi*r$.
• Kraften man må bruke for å løfte et legeme fra bakken, er proporsjonal med massen av legemet, hvor tyngdeakselerasjonen (9,81$m/s^2$) er proporsjonalitetsfaktoren.

Egenskaper

Siden

$y=k \cdot x\,$

er også

$x=(1/k) \cdot y\,$

Dette betyr at om $y$ er proporsjonal med $x$ med proporsjonalitetsfaktor $k$, så er $x$ proporsjonal med $y$ med proporsjonalitetsfaktor $1/k$.

Om $y$ er proporsjonal med $x$, vil grafen med $y$ som funksjon av $x$ være en rett linje, og den vil gå gjennom origo. Stigningstallet vil være lik proporsjonalitetsfaktoren.

Omvendt proporsjonalitet

To størrelser er omvendt proporsjonale om den ene variablen er proporsjonal med den inverse av den andre, eller sagt på en annen måte: produktet av variablene er konstant. Når to størrelser $x$ og $y$ er omvendt proporsjonale, kan vi skrive

$y=k/x\,$

Hvor $k$ er forskjellig fra null. Det vil si at om den ene variablen dobles, vil den andre halveres, slik at produktet av dem alltid er konstant.

Eksempelvis er tiden det tar å kjøre en distanse omvendt proporsjonal med farten man reiser med.

Uttrykt grafisk vil en graf med to variable som varierer inverst, bli en hyperbel-linje. Produktet av x- og y-verdiene vil alltid være lik proporsjonalitetsfaktoren $k$. Av dette følger at siden $k$ ikke kan være null, vil grafen heller ikke krysse noen av aksene.