Fouriertransformasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Gå til: navigasjon, søk

Fouriertransformasjonen, oppkalt etter Jean Baptiste Joseph Fourier, er en transformasjon som overfører en funksjon til frekvensrommet. Der uttrykkes funksjonene ved hjelp av harmoniske basisfunksjoner.

Fouriertransformasjoner har stor betydning overalt hvor det er bølger, gjentagende og periodiske fenomener, spesielt innen signalbehandling, matematikk, og fysikk. Anvendelsene spenner fra lagring av bilder (f.eks JPEG), frekvensanalyse av lyd, analyse av krystallstrukturer, og løsning av lineære differensiallikninger. For alle undergrener av fysikken er den et standardverktøy.

Fouriertransformasjonen er definert for både kontinuerlige og diskrete signaler. Denne artikkelen beskriver kun kontinuerlig transformasjon. For diskret versjon se Fourieranalyse og Diskret Fouriertransform.

[rediger] Definisjoner

Fouriertransformasjonen for en reell eller kompleks funksjon f(t), t\in\mathbb{R}, defineres som:

F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt

Tilsvarende invers transformasjon:

f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega

Firkantparantesene er notasjon som indikerer at transformasjonen er et funksjonal, dvs. en funksjon av en funksjon.

Egenskaper for Fouriertransformasjon er:

\mathcal{F}\left[af(t) + bg(t)\right] = a\mathcal{F}[f(t)] + b\mathcal{F}[g(t)] = aF(\omega) + bG(\omega)
\mathcal{F}[f*g(t)] = F(\omega)G(\omega)
\mathcal{F}[f(t)g(t)] = \frac{1}{2\pi} F*G(\omega)
  • Tids- og frekvensforskyvning
\mathcal{F}[f(t-T)] = e^{-i\omega T}F(\omega)
\mathcal{F}[e^{i\Omega t}f(t)] = F(\omega-\Omega)
\mathcal{F}\left[\frac{d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}\right] = (i\omega)^{(n)}F(\omega)
\mathcal{F}[(-it)^n f(t)] = \frac{d^{(n)}F(\omega)}{d\omega^{(n)}}

[rediger] Se også

Hentet fra «http://no.wikipedia.org/wiki/Fouriertransformasjon»
Personlige verktøy
Opprett en bok