Berry–Esseens teorem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Berry–Esseens teorem er et teorem i matematikk som gir en øvre grense for konvergenshastigheten i sentralgrenseteoremet. Teoremet ble bevist uavhengig av hverandre av Andrew C. Berry i 1941 og Carl-Gustav Esseen i 1942.

Ettersom teoremet ble bevist av to forskjellige matematikere, og deretter ble videreutviklet både av disse og andre, finnes det flere forskjellige formuleringer. En versjon er som følger:

La X_1, X_2,\ldots være uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, og anta at \mathbb E[X_1] = 0, at  \mathbb E[X_1^2] = \sigma^2> 0 og at \mathbb E[|X_1|^3] = \rho < \infty. La videre
Y_n  = \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}n
være gjennomsnittet av de n første variablene. La F_n være den kumulative fordelingsfunksjonen til
\frac{Y_n\sqrt n}\sigma,
og \Phi være den kumulative fordelingsfunksjonen til den standard normalfordelingen. Da finnes en positiv konstant C slik at for alle x og n så er
|F_n(x) - \Phi(x)| \leq \frac{C\rho}{\sigma^3 \sqrt n}.

Her er C en universell matematisk konstant, som er kjent som Berry–Esseen-konstanten. Den nøyaktige verdien av konstanten er ikke kjent. I Esseens opprinnelige arbeid gis den en øvre grense på 7,59, som senere har blitt forbedret. Den beste øvre grensen som er kjent i dag er 0,7655 og ble vist av Sjiganov i 1985.[1] På den annen side er det kjent at C er større enn 1/\sqrt{2\pi}\approx 0,3989.[2]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ I. S. Shiganov: Refinement of the upper bound of the constant in the central limit theorem. I: Journal of Soviet Mathematics. 1986, s. 2545–2550.
  2. ^ Gänssler, Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1977, Eksempel 4.2.16.