Berry–Esseens teorem

Berry–Esseens teorem er et teorem i matematikk som gir en øvre grense for konvergenshastigheten i sentralgrenseteoremet. Teoremet ble bevist uavhengig av hverandre av Andrew C. Berry i 1941 og Carl-Gustav Esseen i 1942.

Ettersom teoremet ble bevist av to forskjellige matematikere, og deretter ble videreutviklet både av disse og andre, finnes det flere forskjellige formuleringer. En versjon er som følger:

La $X_1, X_2,\ldots$ være uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, og anta at $\mathbb E[X_1] = 0$, at $\mathbb E[X_1^2] = \sigma^2> 0$ og at $\mathbb E[|X_1|^3] = \rho < \infty$. La videre

$Y_n = \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}n$

være gjennomsnittet av de $n$ første variablene. La $F_n$ være den kumulative fordelingsfunksjonen til

$\frac{Y_n\sqrt n}\sigma$,

og $\Phi$ være den kumulative fordelingsfunksjonen til den standard normalfordelingen. Da finnes en positiv konstant $C$ slik at for alle $x$ og $n$ så er

$|F_n(x) - \Phi(x)| \leq \frac{C\rho}{\sigma^3 \sqrt n}$.

Her er $C$ en universell matematisk konstant, som er kjent som Berry–Esseen-konstanten. Den nøyaktige verdien av konstanten er ikke kjent. I Esseens opprinnelige arbeid gis den en øvre grense på 7,59, som senere har blitt forbedret. Den beste øvre grensen som er kjent i dag er 0,7655 og ble vist av Sjiganov i 1985. På den annen side er det kjent at $C$ er større enn $1/\sqrt{2\pi}\approx 0,3989$.