Symmetrisk matrise

Ei symmetrisk matrise er ei matrise som er lik transponeringa si. Formelt er ei matrise M symmetrisk hvis og bare hvis $M=M^{T}$. Bare kvadratmatriser, altså matriser med like mange kolonner som rader, kan være symmetriske.

Eksempel

$M={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}$

Matrisa M er symmetrisk siden $M=M^{T}$.

Følgende matrise A vil derimot ikke være symmetrisk:

$A={\begin{pmatrix}1&2&2\\3&4&5\\3&1&6\end{pmatrix}},~~A^{T}={\begin{pmatrix}1&3&3\\2&4&1\\2&5&6\end{pmatrix}},~~A\neq A^{T}.$

Egenskaper

Ei reell symmetrisk matrise har noen spesielle egenskaper utover ei vanlig matrise. Følgende egenskaper følger fra spektralteoremet for symmetriske matriser

• Egenvektorer tilhørende forskjellige egenverdier er ortogonale
• Det vil være n reelle egenverdier gitt at matrisa er av dimensjon n x n.
• Dimensjonen av egenrommet for en egenverdi $\lambda$ er det samme som multiplisiteten av rota $\lambda$ i det karakteristiske polynomet
• Ei symmetrisk matrise vil alltid være diagonaliserbar