Idoneale tall
I matematikk er Euler sine idoneale tall de positive heltallene D slik at ethvert heltall bare kan uttrykkes på måten x2 ± Dy2 (hvor x2 er relativt primisk til Dy2) er en primtallspotens eller dobbel primtallspotens. Spesielt vil et tall være sammensatt dersom det har to forskjellige representasjoner som en sum av to kvadrater. Hvert idoneale tall genererer en mengde som inneholder uendelig mange primtall og mangler uendelig mange andre primtall.
Definisjon[rediger | rediger kilde]
Et positivt heltall n er idonealt hvis og bare hvis det ikke kan skrives som ab + bc + ac for forskjellige positive heltall a, b, og c.[1]
Det er tilstrekkelig å vurdere mengden { n + k2 | 3 . k2 ≤ n ∧ gcd (n, k) = 1 }; hvis alle disse tallene er på formen p, p2, 2 · p eller 2s for noen heltall s, hvor p er en prim, så er n idoneal.[2]
Formodentlig fullstendig liste[rediger | rediger kilde]
Per 2022 er det et uløst problem hvorvidt det finnes 65, 66 eller 67 ideonale tall.
65 idoneale tall har blitt funnet av Leonhard Euler og Carl Friedrich Gauss, og disse antas å være de eneste ideonale tallene:
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 og 1848 (sekvens A000926 i OEIS).
Resultater publisert av Peter J. Weinberger i 1973[3] antyder at det maksimalt finnes to andre idonale tall, og at listen over er komplett hvis den generaliserte Riemann-hypotesen holder (noen kilder hevder feilaktig at Weinberger sine resultater impliserer at det høyst finnes ett annet idonealtall).
Referanser[rediger | rediger kilde]
- ^ Eric Rains, A000926 Comments on A000926, December 2007.
- ^ Roberts, Joe: The Lure of the Integers. The Mathematical Association of America, 1992
- ^ Acta Arith., 22 (1973), p. 117-124