Ducci-sekvens

En Ducci-sekvens is er en sekvens av tallrekker satt sammen av heltall. Gitt en tallrekke $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ lages en ny tallrekke, eller n-tuppel ved å ta den absolutte differansen:$(|a_{1}-a_{2}|,|a_{2}-a_{3}|,...,|a_{n}-a_{1}|).$

Sagt på en annen måte, så setter vi $n$ tall rundt en sirkel og lager en ny sirkel av tall ved å ta differansen mellom hvert par av tall. Vi ignorer deretter negative fortegn og gjentar prosessen.

Det har blitt bevist at man vil alltid nå sekvensen (0,0,...,0) i et endelig antall steg hvis $n$ er en potens av 2.

Siden $n$ er et endelig tall er det ikke til å komme utenom at sekvensen må begynne å gjenta seg selv etter en stund. Det er bevist at hvis $n$ ikke er en potens av to vil Ducci-sekvensen enten gå mot bare nuller eller gå inn i en løkke med det man har kalt "binære" n-tupler, det vil si tallrekker som bare inneholder to forskjellige tall. Ducci sekvenser er også kjent som the n-numbers game og konseptet har blitt utvidet med mer generelle resultater

Eksempelsekvenser

Denne 5-tuppel sekvensen går etter 7 steg inn i en binær løkke med periode på 15 steg.

${\begin{matrix}15799\\42208\\20284\\22642\\04220\\42020\\22224\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}00022\\00202\\02222\\20002\\20020\\20222\\22000\\02002\\22022\\02200\\20200\\22202\\00220\\02020\\22220\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}00022\\00202\\......\end{matrix}}$

Den følgende sekvensen har lengde 6 som ikke er en potens av to, men den ender likevel opp med bare nuller.

${\begin{matrix}121210\\111111\\000000\\......\end{matrix}}$

Kilder

• Ducci Sequence Arkivert 26. august 2004 hos Wayback Machine.