Diskusjon:Vektorrom

Redigering av avsnittet basis

Endringene som er innført 3. desember 2012 for avsnittet «Basis og dimensjon» medfører at referansene som er oppgitt ikke er i samsvar med definisjonene i teksten. I opprinnelige formuleringer støttet referansene opp om teksten. I valget mellom å fjerne referanser og å tilbakestille endringene har jeg falt ned på det siste. Ikke minst fordi ny definisjon er oppgitt uten referanser.

Jeg er klar over at det eksisterer flere alternative definisjoner av «basis», «algebraisk basis» og «Hamelbasis», også definisjoner som så langt ikke er nevnt i teksten. Nettopp fordi det kan være en viss variasjon i definisjonen var den opprinnelige teksten utstyrt med referanser. Og også en viss avspeiling av variasjonsrommet. Jeg håper i det lengste at vi kan unngå fram-og-tilbake-redigeringer, og jeg vil heller oppfordre til å gjøre denne type drøftinger i grunnleggende sider som kan støtte opp om teksten for vektorrom. Eller på diskusjonssidene! En full drøfting av basisbegrepet - med alternative definisjoner - hører for eksempel hjemme i basis (matematikk).

Definisjonen som blir gitt for en basis i den tilbakestilte teksten er ikke presis nok. Det bygger på begrepet lineærkombinasjon, som på wiki pr. idag er definert som en endelig sum av ledd. (Andre definisjoner er igjen mulig!) Med basis kun definert som (endelige) lineærkombinasjoner vil Schauderbasisen falle utenfor, og vi er tilbake til algebraisk basis, slik for eksempel Milne definerer begrepet. En basis må i tillegg være minimal.

Schauderbasis mm hører hjemme i normerte vektorrom, og jeg ser at forklaring av basisdefinisjonen i uendeligdimensjonerte vektorrom i nåværende versjon ikke er tilstrekkelig. Så lenge wiki mangler grunnleggende begrep til å forklare dette, følte jeg selv at å skrive om dette var vanskelig. Videre tekst bør være mer enn røde lenker! Jeg håper igjen at vi kan finne en felles konstruktiv form for redigering av matematikksidene: jeg tipper at den «redigeringsstriden» vi ser nå er demotiverende for alle involverte parter. Veien å gå er referanser og oppbygging av sider som kan støtte hverandre innholdsmessig. Her er mye ugjort! --Toba (diskusjon) 3. des 2012 kl. 22:10 (CET)

Dette blir en fortsettelse av diskusjonen jeg og Toba har hatt på min diskusjonsside. Endringen jeg gjorde var endre avsnittet om baser, som per nå hevder at "Hamelbasis" er et begrep som brukes om alle basiser i lineær algebra.

Jeg, som masterstudent i ren matematikk ved Harvard University, har i min matematikkarriære aldri hørt Hamelbasis brukt om annet enn baser for de reelle tallene som et vektorrom over de rasjonelle tallene. Denne bruken er støttet opp av mathworld sitt oppslagsverk, og Salzmann/Grundhöfer/Hähls The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers (s. 6). Jeg har i etterkant funnet at begrepet av og til er brukt litt bredere enn som så, som et synonym for baser for uendelig-dimensjonale vektorrom over C, R eller Q. Dette inneholder definisjonen over som et spesialtilfelle, og er definisjonen for Hamelbase brukt i engelsk wikipedia (se "Analysis" under "related notions"). Det jeg ikke finner hjemmel for, verken i litteraturen eller i vanlig bruk blant oss matematikere, er at "Hamelbasis" brukes som et generelt begrep for det vi oftest bare kaller "basis".

Når det gjelder kildene referert til i artikkelen, så har jeg ikke tilgang på Encyclopedia of Mathematics som er en av kildene, så jeg kan ikke verifisere den kilden. Det som er saken med de to andre kildene, nemlig "Applied functional analysis" og "Modern nonlinear equations" er at disse ikke er tekstbøker i generell lineær algebra. De er tekstbøker i analyse, og handler derfor nettopp om spesialtilfellet uendelig-dimensjonale vektorrom over C, R eller Q, og ikke vektorrom generelt. Deres definisjoner stemmer derfor overens med min tolkning av Hamelbasis, og jeg fastholder at det ikke er vanlig matematisk kutyme å referere til en hvilken som helst lineært uavhengig spennmengde som en Hamelbasis. Videre søk i Google Scholar viser at det stort sett er teksbøker i analyse som benytter seg av begrepet Hamelbasis.

Siden vektorrom i sin generalitet er et algebraisk konsept, så er mitt forslag: Benytt ordet "basis" for lineært uavhengige spennmengder i generelle vektorrom, og påpek senere i artikkelen at Hamelbasis av og til brukes som begrep i det spesielle tilfellet med uendeligdimensjonale vektorrom over C, R eller Q, og dette for å ikke blande sammen lineært uavhengige mengder hvis direkte sum spenner rommet med andre typer basiser brukt i analysen. Om det finnes gode kilder for bruken av Hamelbasis for en generell basis, kan dette også inkluderes der, men vi bør være forsiktige med å inkludere språkbruk som muligens ikke er helt normert innen fagfeltet. Daofeishi (diskusjon) 8. des 2012 kl. 12:13 (CET)

Poenget mitt har tydelegvis ikke vært klart nok. Dette dreier seg ikke om hva som er «matematisk kutyme», det tror jeg vi begge skal være ydmyke nok til å være forsiktige med å uttale oss om. Dette dreier seg om respekt for at det finnes flere synspunkter og flere måter å bruke samme begrep på, og at ens eget perspektiv kanskje ikke er Sannheten med stor S. Derfor har jeg forsøkt å begrunne bruken - slik jeg kjenner den - med referanser. Da kan en ikke flytte referansene til en annen måte å bruke begrepet på, det gir ikke mening. Det er selvsagt fritt for alle til å redigere og legge til, men jeg håper at det da blir en utviding - og ikke en redigering der ett perspektiv blir klippet vekk og byttet ut med et annet. Det er flott dersom wiki, i tillegg til å forklare alternativ bruk, kan si hva som er «kutyme», men dette må kunne belegges, noe som ofte er svært vanskelig. Det som er kutyme i ett fagmiljø er ikke nødvendigvis det i et annet, heller ikke blant «oss matematikere». Legg gjerne til definisjoner av Hamelbasis slik du kjenner de til sida basis (matematikk). Og jeg håper på referanser! Let gjerne i historien for å se opphavet til begrepet Hamelbasis, historien kan ofte si mye om grunnen til tvetydighet.

Poeng nummer 2 er presisjonsnivå. Definisjon av basis på generelt nivå - som kan omfatte alle basistyper for et vektorrom - er ikketriviell, og vil kreve en langt større drøfting og mer presisjon enn det som til nå har kommet fram. Slike definisjoner vil ofte involvere flere (grunn)begrep, og en definisjon på wiki har ikke særlig verdi dersom involverte begrep ikke er definert og presisert. Jeg unngikk bevisst utfordringen med å skrive om basiser generelt og har så langt kun skrevet om en algebraisk basis. Det er feil å påstå at sida i dag bruker «Hamelbasis» om alle typer basiser for et vektorrom. Jeg må innrømme at jeg var både forskrekket og skuffet over å se et forsøk på en presis tekst med referanser erstattet med noe som jeg oppfattet som ganske upresist. Uten referanser. Dersom du vil forsøke deg på en allmenn definisjon av basis for vektorrom (som kan omfatte både algebraisk basis, Schauderbasis, mm) - fint, men det er en vanskelig jobb. Ikke minst fordi ulike basistyper ofte krever tilleggsegenskaper i vektorrommet. Så vidt jeg vet (men på tynn is) er det kun algebraiske basiser som er definert i et vektorrom uten tilleggsstruktur (norm, indreprodukt, topologi, ...) Dersom du vil skrive om andre basistyper - flott, men jeg håper på noe mer enn en rød lenke... Tenk gjennom hvilke grunnbegrep du trenger for å kunne skrive om dette (spenningssett, ...), og se om det finnes sider på wiki som kan støtte opp om definisjonene dine. Den diskusjonen vi nå har hatt - og den underliggende tvetydigheten i begrepene - viser tydelig at vi må bort fra sider som er uten referanser og uten levende lenker. --Toba (diskusjon) 8. des 2012 kl. 18:47 (CET)

"Dette dreier seg om respekt for at det finnes flere synspunkter og flere måter å bruke samme begrep på, og at ens eget perspektiv kanskje ikke er Sannheten med stor S." Joda, og jeg følte jeg hadde tatt høyde for det i min omskriving. Jeg skrev:

"En mengde av lineært uavhengige vektorer i et vektorrom er en basis for vektorrommet, dersom en vilkårlig vektor i rommet kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse. [...] For uendelig-dimensjonale vektorrom over reelle eller komplekse tall brukes ofte benevnelsen Hamelbasis eller algebraisk basis for basiser som definert over. Denne benevnelsen brukes for å skille mellom denne typen basis og andre typer basiser som brukes i analysen, eksempelvis Schauderbasiser og Markushevichbasiser."

Jeg ser ikke helt hva som er tvetydig eller uklart med dette, men om du mener det er uklart, så kan du gjerne komme med forslag til omformulering. Som du ser over så har jeg kilder for mitt synspunkt og, og som jeg har påpekt tror jeg ditt synspunkt ser ut til å grunne i at du kommer fra et analytisk ståsted. Når vi nå diskuterer vektorrom i sin generalitet, uten noen videre struktur, bør vi forholde oss først og fremst til hva som er vanlig bruk innen algebraen. La oss ta en titt i noen av de mest refererte tekstene:

N. Bourbaki, Algebra 1-3: s. 216 (Presentert generelt for moduler) sier at en en T-enumerert mengde elementer i en A-modul E som kanonisk gir en bijektiv avbildning A^(T) til E er en basis. På side 292 defineres en Hamelbasis som en basis for R over Q.

Hungerford, Algebra: s. 74 "... is called a basis ..." Ordet Hamelbasis finnes ikke i teksten.

Lang, Linear Algebra: s. 20 "... basis..." Ordet Hamelbasis finnes ikke i teksten.

Hoffman & Kunze, Linear Algebra: s. 41 "... A basis for V is..." Ordet Hamelbasis finnes ikke i teksten.

Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces： s. 10 "A (linear) basis is..." Ordet Hamelbasis finnes ikke i teksten.

Artin, Algebra: s. 90 "... is called a basis". Ordet Hamelbasis finnes ikke i teksten.

Jeg føler dermed at det blir noe misvisende å bruke Hamelbasis i utgangspunktet. Jeg mener det blir bedre å skrive:

"En mengde av lineært uavhengige vektorer i et vektorrom er en basis for vektorrommet dersom en vilkårlig vektor i rommet kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse. [... muligens senere: I analysen benyttes gjerne begrepet Hamelbasis for basis som definert over]. Dette skaper ingen problemer for presisjonsnivået, fordi det er dette som er definisjonen for basis brukt i vektorromsammenheng. Daofeishi (diskusjon) 9. des 2012 kl. 10:36 (CET)

Det er begrepet «basis» brukt alene - i samme avsnitt som du drøfter en rekke basistyper - som er tvetydig. Du greidde i hvert fall å forvirre meg med teksten din. Ut fra avsnittsredigeringen din trodde jeg du forsøkte å lage en innledende basisdefinisjon som kan omfatte alle basistyper. Det er tydeligvis ikke det du forsøker å gjøre. Du ser ut til å følge læreboktradisjonen i lineæralgebra med å først definere «basis» uten nærmere karakteristikk, typisk brukt der en ikke trenger å skille mellom basistyper. Trenger en økt presisjonsnivå, så innføres karakteristikken «algebraisk basis». Det er ikke noe annet som står i avsnittet nå, inkludert et utsagn om kortversjonen «basis». Jeg har bare gått rett på sak, med full karakteristikk, nettopp fordi jeg tenkte at det var naturlig at avsnittet også inneholdt beskrivelse av andre basistyper. Referansene jeg har gitt følger samme presentasjonsform. Jeg tror dette er mer snakk om presentasjonsform en algebra versus analyse. Denne forskjellen er kanskje ikke så viktig, så lenge ikke teksten er feil sett fra noe synspunkt. I et avsnitt som skal omhandle basistyper generelt er det kanskje ikke lurt å snakke om «basisen» i bestemt form, uten nærmere karakteristikk.

Der vi derimot skiller lag er i definisjonen av algebraisk basis, som du ser ut til å reservere til uendeligdimensjonale rom. Dersom det er det er denne begrensningen som er poenget ditt, så skriv gjerne det, med referanser til denne bruken. Da vil det være naturlig med utsagn av typen «begrepet algebraisk basis blir i en del/noen/mange sammenhenger begrenset til kun å være definert for uendeligdimensjonale rom*ref». Merk at teksten min bevisst ikke sier noe om endeligdimensjonale eller uendeligdimensjonale rom. Slik sett innførte du med redigeringen din en alternativ definisjon i forhold til min opprinnelige (og nåværende) tekst. Du må gjerne legge til alternativ, men ta ikke bort definisjoner som er i bruk!

Når det gjelder Hamelbasis, så kan vi ikke la teksten bli styrt av hva vi «føler» eller «mener», men av hva som faktisk er i bruk. Oppgaven vår er å gjøre rede for all bruk, og jeg har med referanser godtgjort én bruk av begrepet. At det finnes andre burde nå være tydelig, og jeg har også forsøkt å skrive om disse i siden basis (matematikk). Jeg tviler ikke på at det finnes hundre referanser som ikke nevner begrepet eller som bruker det anderledes. Skriv gjerne om de som bruker det anderledes! (Men gjør det kanskje på siden basis (matematikk). Og ikke ta bort alternativene!) Vi kan gjerne omformulere avsnittet slik det er i teksten for vektorrom, og løsne på sammenhengen mellom algebraisk basis og Hamelbasis, men for å sitere engelsk wiki: «In the context of infinite-dimensional vector spaces over the real or complex numbers, the term Hamel basis (named after Georg Hamel) or algebraic basis can be used to refer to a basis as defined in this article. This is to make a distinction with other notions of "basis" that exist when infinite-dimensional vector spaces are endowed with extra structure.» --Toba (diskusjon) 9. des 2012 kl. 19:19 (CET)