Funktor

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Funktorer er tilordninger som kan tenkes på som funksjoner mellom kategorier.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

La C and D være kategorier. En (kovariant) funktor F fra C til D er en tilordning som

  • til ethvert objekt X \in C tilordner et objekt F(X) \in D,
  • til enhver morfi f:X\rightarrow Y \in C tilordner en morfi F(f):F(X) \rightarrow F(Y) \in D slik at de følgende krav oppfylles:
    • F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\! for alle X \in C
    • F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) for alle morfier f:X \rightarrow Y\,\! og g:Y\rightarrow Z.\,\!

En kontravariant funktor F fra C til D er en tilordning som

  • til ethvert objekt X \in C tilordner et objekt F(X) \in D,
  • til enhver morfi f:X\rightarrow Y \in C tilordner en morfi F(f):F(Y) \rightarrow F(X) \in D slik at de følgende krav oppfylles:
    • F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\! for alle X \in C
    • F(g \circ f) = F(f) \circ F(g) for alle morfier f:X \rightarrow Y\,\! og g:Y\rightarrow Z.\,\!

Funktorer må altså bevare identitetsmorfier og komposisjon av morfier.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

I kategorien F-vektorrom for en gitt kropp F er de følgende tilordningene funktorer:

  • Tilordning av dualrom V* til et vektorrom V.
  • Tilordning av homomorfier inn i og ut av V. Hom(V,–) er kovariant og Hom(-,V) er kontravariant.
  • Tilordning av F-tensorprodukt med V.