Kategori (matematikk)

I matematikken kan egenskaper til mange matematiske systemer uttrykkes ved hjelp av diagrammer bestående av piler. Ved å innføre kategorier kan man formalisere denne ideen.

Definisjon

En kategori $\mathcal{C}$ består av en klasse objekter og for hvert par $a, b$ av objekter en mengde $\mathcal{C}(a,b)$ av morfier fra $a$ til $b$ og for hvert trippel $a, b, c$ av objekter en sammensettingsfunksjon $\circ:\mathcal{C}(b,c)\times\mathcal{C}(a,b)\to\mathcal{C}(a,c)$ slik at følgende aksiomer holder

• Assosiativitet av sammensetningen: Hvis $f\in\mathcal{C}(a,b)$, $g\in\mathcal{C}(b,c)$ og $h\in\mathcal{C}(c,d)$, så er $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$.
• Enhet: For hvert objekt $a$ finnes en identitetsmorfi $1_a\in\mathcal{C}(a,a)$, og $f\circ 1_a=f$ og $1_a\circ g=g$.

Eksempler

• Mengder og funksjoner er en kategori.
• Topologiske rom og kontinuerlige funksjoner er en kategori.
• En kategori med kun ett objekt er en monoide.