σ-algebra

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Sigma-algebra)
Hopp til: navigasjon, søk

En familie av delmengder av mengden kalles en sigma-algebra dersom

  1. er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde .)
  2. Lukket under komplement: Hvis er med i så er komplementet også være med i
  3. Lukket under tellbare unioner: Hvis er en samling av mengder i er også unionen med i

Det følger at og er med i :
Tar vi en vilkårlig mengde i (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet er i ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen og dens komplement være i .

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Den enkleste -algebraen på en gitt mengde er den trivielle: , for en delmengde av . Går vi til den andre enden av skalaen er den største -algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av , .

La være mengden av alle naturlige tall, og la familien bestå av de 4 delmengdene , (alle oddetall) (alle partall) samt selv. er da en sigma-algebra.

En svært viktig -algebra er Borel -algebraen. Denne definerer vi som -algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde . Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive . Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel -algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel -algebraen også er generert av ,, og .

Referanser[rediger | rediger kilde]

Bartle, Robert G: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library