Runge-Kuttametoden

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
Løsning til initialverdiproblemet .

Runge-Kuttametoden er en familie av numeriske metoder som gir tilnærmete løsninger på differensiallikninger. Metoden ble utviklet omkring år 1900 av matematikerne C. Runge og M. W. Kutta.

Introduksjon[rediger | rediger kilde]

Følgende initialverdiproblem betraktes:

Der er derivert med hensyn på . Det antas at er en komplisert funksjon, og at vi ikke har en eksplisitt løsning på problemet. For å generere en løsning er det ønskelig å bevege seg fra til , og så videre til . Da må den deriverte approksimeres. Runge-Kutta metoden gjør dette ved å gjentatte ganger sette inn forskjellige verdier i funksjonen , og velge lineære kombinasjoner slik at flest mulig ledd i Taylor-utviklingen til stemmer overens med .

En andre ordens metode[rediger | rediger kilde]

I denne seksjonen utledes en andre-ordens metode for initialverdiproblemet:

Der kun er en funksjon av . En Runge-Kutta metode er gitt ved:

der er skrittlengde og , og er konstanter. For å få en andre ordens metode må konstantene stemme overens med Taylor-utviklingen av .Taylor-utviklingen til rundt er gitt av:

Dersom metoden ovenfor utvides, kan den skrives som:

Kravene for en andre ordens metode blir derfor at og . En (av flere mulige) andre ordens metode er derfor gitt ved:

Metoden ovenfor samsvarer med valget , og .

En fjerde ordens metode[rediger | rediger kilde]

For å utlede en fjerde ordens metode må man sette opp konstanter, utvide Taylor-rekken og velge konstater slik at kun ledd med grad og høyere gjenstår. En av de vanligste fjerde ordens metodene er:

for n = 0, 1, 2, 3, . . . , der

Dette er er metoden som oftest blir forbundet med Runge-Kutta. Legg merke til at metoden ovenfor krever at vi evaluerer funksjonen 4 ganger. Grunnen til at man som oftest ikke går høyere enn fjerde orden er fordi høyere orden krever flere funksjonsevalueringer enn ordenen man får.

Implementasjon av RK4[rediger | rediger kilde]

Fjerde ordens Runge-Kutta er rimelig enkel å implementere, og gir gode resultater sammenlignet med lavere ordens metoder. Nedenfor er en implementasjon i Python av RK4

def runge_kutta4(y_n, t_n, h, f):
    '''
    Gir y_n+1 ved hjelp av Runge Kutta 4.
    '''
    # Konstanter
    k1 = f(t_n, y_n)
    k2 = f(t_n + h/2, y_n + (h/2)*k1)
    k3 = f(t_n + h/2, y_n + (h/2)*k2)
    k4 = f(t_n + h,   y_n + h * k3)
    
    # Regn ut og returner neste verdi
    return y_n + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

def f(t, y):
    '''
    Funksjon til den deriverte.
    '''
    return 0.5 * y
    
# Startverdi, skrittlengde, starttid og sluttid
y_0, h, t_0, t_end = 1, 2, 0, 10 
tider = [i for i in range(t_0, t_end+h, h)] # Liste for tiden
y_verdier = [y_0]                           # Liste for y-verdier

for i in range(0, len(tider)-1):
    y_n, t_n = y_verdier[i], tider[i]               # Hent y og t
    y_verdier.append(runge_kutta4(y_n, t_n, h, f))  # Regn ut neste verdi

Generelle metoder[rediger | rediger kilde]

Generelt er en stegs Runge-Kutta metode gitt av likningene:

Der , og er konstanter. For å få ønsket orden må disse konstantene stemme overens med Taylor-utviklingen. Konstantene kan organiseres i et RK-tablå:

Kilder[rediger | rediger kilde]

  • Iserles, Arieh (29. desember 2008). A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations (2nd edition utg.). Cambridge ; New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-73490-5. 
  • Kincaid, David; Ward, Cheney (25. oktober 2001). Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing (3 edition utg.). Pacific Grove, CA: Brooks Cole. ISBN 978-0-534-38905-5.