Torus

Skisse av en torus

Torusen kan lages ved å starte med et rektangulært materiale, og så lime sammen to og to sider.

En torus er et matematisk objekt, mer presist en mangfoldighet. Den har form som en smultring (uten fyll). Èn måte å realisere torusen på er ved å dreie om en linje som ligger utenfor sirkelen. En annen måte er å starte med et rektangulært «materiale», og lime sammen to og to sider (se animasjonen til høyre).

Geometri

En parameterfremstilling av torusen er gitt ved:

$x(u, v) = (R + r\cos{v}) \cos{u} \,$

$y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z(u, v) = r \sin{v} \,$

Ring-torus

Horn-torus

Spindel-torus

Utsnitt av de tre typene toruser.

hvor $u,v \in [0,2\pi )$, R er avstanden fra sentrum av «tuben» til sentrum av torusen, og r er radiusen til sirkelen/«tuben». Forskjellige verdier av r og R gir forskjellige typer toruser. En ring-torus er det vi får om R > r, eller med andre ord at dreiesirkelen i innledningen har større avstand fra linjen enn radiusen. En horn-torus er det vi får om R=r, og en spindel-torus er det vi får om R < r. Topologisk ser spindel-torusen ut som en sfære limt på en annen sfære via to punkter.

Ved hjelp av Pappus' sentroideteorem kan vi regne ut overflatearealet A og volumet V:

$A = (2\pi a)(2 \pi c) = 4\pi^2 ac = \pi^2(R-r)(R+r)$

$V = (\pi a^2)(2\pi c) = 2\pi^2a^2 c = \frac{1}{4}\pi^2(R-r)^2(R+r)$

Topologi

En torus er topologisk det samme som produktet av to sirkler: $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$. Den har genus 1. Fundamentalgruppen til torusen T er $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.