Markovs ulikhet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

I sannsynlighetsteori gir Markovs ulikhet en øvre grense for sannsynligheten av at en ikke-negativ stokastisk variabel er større enn en gitt positiv verdi. Ulikheten er oppkalt etter den russiske matematikeren Andrej Andrejevitsj Markov.

Ulikheten[rediger | rediger kilde]

Hvis X er en stokastisk variabel og a > 0, så er

\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.

Bevis[rediger | rediger kilde]

Hvis A er en hendelse, la IA være indikatorvariabelen til A. Det vil si at IA = 1 hvis A skjer, og 0 ellers. Da er

aI_{(X \geq a)} \leq X.\,

Derfor er

\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\,

Merk at den venstre siden av denne ulikheten er det samme som

a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\,

Dermed har vi at

a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|),\,

og siden a > 0, kan vi dividere begge sider med a.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

  • Markovs ulikhet brukes til å bevise Tsjebysjevs ulikhet.
  • Hvis X er en ikke-negativ stokastisk variabel med bare heltallige utfall, noe som ofte forekommer i kombinatorikk, så følger det av Markovs ulikhet at P(X > 0) ≤ E(X), ved å sette a =1.