Diofantisk ligning

I matematikk er en diofantisk ligning en ligning med heltallige koeffisienter, hvor løsningen også skal være heltallig. Diofantiske ligninger har færre ligninger enn ukjente, og for å fullstendig løse en diofantisk ligning, må man finne alle hele tall som tilfredsstiller ligningen.

Diofantiske ligninger er oppkalt etter den greske matematikeren Diophantus fra Alexandria, som levde i det tredje århundret og som studerte denne typen ligninger.

Eksempler

• ax + by = 1: Se Bézouts identitet.
• xⁿ + yⁿ = zⁿ: For n = 2 finnes det uendelig mange løsninger (x,y,z) av denne ligningen. Disse kalles pytagoreiske tripler. For større verdier av n, sier Fermats siste teorem at det ikke finnes noen positive, heltallige løsninger.

Hilberts tiende problem

På den internasjonale matematikkongressen i Paris i 1900 presenterte den tyske matematikeren David Hilbert en liste på 23 uløste problemer. Det tiende problemet var å finne en algoritme som kan avgjøre om et gitt system av diofantiske ligninger har en løsning. I 1970 beviste Jurij Matijasevitsj at problemet ikke lar seg løse.