Catalantall

Catalantallene er en følge av naturlige tall som ofte forekommer i telleproblemer i kombinatorikk. De er oppkalt etter den belgiske matematikeren Eugène Charles Catalan. For n ≥ 0, betegnes det n´te catalantallet C_n, og er gitt ved formelen

$C_n = \frac 1{n+1} {2n\choose n}.$

De første catalantallene (følge A000108 i OEIS) er

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452.

Catalantallene vokser asymptotisk som

$C_n \sim \frac {4^n}{n^{3/2}\sqrt \pi}.$

Tallene tilfredsstiller den rekursive formelen

$C_{n+1} = \sum_{k=0}^n C_nC_{n-k},$

som forklarer hvorfor C_n så ofte dukker opp som svaret på kombinatoriske telleproblemer.

Den genererende funksjonen er

$C(z) = \sum_{n=0}^{\infty} C_nz^n = \frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}.$

Anvendelser i kombinatorikk

• C_n er antall måter et polygon med n+2 kanter kan deles opp i trekanter ved hjelp av n diagonaler.

• C_n er antall måter n par av venstre- og høyreparenteser '(' og ')' kan skrives etter hverandre slik at hver høyreparentes lukker en venstreparentes.

((()))   (()())   (())()   ()(())   ()()()

• C_n er antall binære trær med n+1 blader.