Parallellakseteoremet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Parallellakseteoremet også kjent som Steiners sats (etter Jakob Steiner), brukes i fysikk til å beregne treghetsmoment til et generelt legeme som ikke har massefellespunkt på rotasjonsaksen.

Bevis[rediger | rediger kilde]

Generelt legeme (grønn), Rotasjons akse (svart) rundt origo, Flytter origo til cm (massefellespunkt) (rød)

Treghetsmomentet til et lite masseelement, dm, med kordinatene (x,y). Treghetsmomentet er:

 I = \int r^2 dm = \int (X^2 + Y^2 ) dm

Kordinatene til dm etter at origo er flyttet:

\ X = x_{cm} + x'
\ Y = y_{cm} + y'

Settes dette inn i første ligning får vi:

 I = \int [(x_{cm} + x')^2 + (y_{cm} + y')^2] dm
 I = \int ( x'^2 + y'^2 )dm + 2x_{cm} \int x' dm + 2y_{cm} \int y' dm + ( x_{cm}^2 + y_{cm}^2 ) \int dm

Ettersom at aksen er nå plassert i objektets massesenter får vi:

  \int x' dm = \int y' dm = 0

Da står vi igjen med:

 I = \int ( x'^2 + y'^2 ) dm + ( x_{cm}^2 + y_{cm}^2 ) \int dm

Som kan skrives:

\ I = I_{cm} + M D^2 ,

der M er massen til hele legemet.