Lengdekontraksjon

Lengdekontraksjon er en konsekvens av Lorentz-transformasjon fra spesiell relativitetsteori. Et linjestykke er kortere i et inertialsystem hvor linjestykket har en fartskomponent parallell med linjestykket enn i et referansesystem hvor farten i parallell retning er null.

Utledning (UFERDIG)

La $\underline{X}_1=(ct_1,x_1,y_1,z_1)$ og $\underline{X}_2=(ct_2,x_2,y_2,z_2)$ være to punkter med konstant avstand a i et inertialsystem S hvor begge punkter ligger på x-aksen med x-koordinater henholdsvis 0 og a, slik at $t_1=t_2=t$, $x_1=y_1=y_2=z_1=z_2=0$ og $x_2=a$. La S' være et referansesystem som beveger seg med hastighet $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$ relativt til S og sett $\vec{\beta}=(\beta_x,\beta_y,\beta_z)=\frac{\vec{v}}{c}$

Reglene for Lorentz-transformasjon gir koordinatene i S'. $\gamma\equiv\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

$\underline{X}_1'=(c_1t',x_1',y_1',z_1')=\gamma ct_1(1, -\beta_x,-\beta_y,-\beta_z)$

$\underline{X}_2'=(ct_2',x_2',y_2',z_2')=\gamma (ct_2-a\beta_x, \frac{a}{\gamma}(1+(\gamma-1)\frac{\beta_x^2}{\beta^2})-ct\beta_x,\frac{a}{\gamma}(\gamma-1)\frac{\beta_x\beta_y}{\beta^2}-ct\beta_y,\frac{a}{\gamma}(\gamma-1)\frac{\beta_x\beta_z}{\beta^2}-ct\beta_z)$

Setter en $t_1'=t_2'$ får en $\underline{dX}=\gamma(0,\frac{a}{\gamma}(1+(\gamma-1)\frac{\beta_x^2}{\beta^2})-a\beta_x^2,\frac{a}{\gamma}(\gamma-1)\frac{\beta_x\beta_y}{\beta^2}-a\beta_x\beta_y,\frac{a}{\gamma}(\gamma-1)\frac{\beta_x\beta_z}{\beta^2}-a\beta_x\beta_z)$

$\gamma-1 \geq 0$ medfører at:

$a'\le a$ og $a=a'\Leftrightarrow\beta_x=0$