Geometrisk fordeling

Geometrisk fordeling beskriver sannsynligheten for antall forsøk som må til før et gitt utfall skal inntreffe. Dette gjelder bare for bernoulli-forsøk. Dersom du utfører en rekke like bernoulli-forsøk og ønsker å finne sannsynligheten for at første suksess kommer etter n forsøk, kan du bruke geometrisk fordeling. Geometrisk fordeling er et spesialtilfelle av negativ binomisk fordeling, med r lik 1.

Vi har formelen, $g(x)=P(X=x)=p(1-p)^{X-1}$, der p er sannsynligheten for suksess og x er antall forsøk.
Vi gjør først $x-1$ forsøk som ikke er suksess. Sannsynligheten for hver av disse er $(1-p)$. Sannsynligheten for at vi skal ha $x-1$ forsøk som dette blir da $(1-p)^{x-1}$. Til slutt skal vi ha et forsøk som gir suksess. Sannsynligheten for dette er $p$. Vi ender da opp med formelen $g(x)=P(X=x)=p(1-p)^{X-1}$, som beskrevet over.

Eksempel

På en fødeavdeling ønsker de å beregne sannsynligheten for at det første guttebarnet etter nyttår kommer først etter 5 fødsler. De antar at sannsynligheten for å få jente og gutt er like store. Vi bruker da formelen for geometrisk fordeling og får følgende:
$P(X=5)=0.5(1-0.5)^{5-1}=0.5*0,5^{4}=0.03125$

Sammenheng med geometrisk rekke

Summen av en geometrisk rekke er gitt ved:

$\Sigma _{i=0}^{\infty }ak^{i}=\Sigma _{i=1}^{\infty }ak^{i-1}={\frac {a}{1-k}}$, når$|k|<1$

For geometrisk fordeling utgir det følgende:

$\Sigma _{x=0}^{\infty }g(x)=\Sigma _{x=1}^{\infty }p(1-p)^{x-1}={\frac {p}{1-(1-p)}}=1$

Dette gir oss summen av sannsynlighetene for alle mulige utfall. Det skal alltid bli lik 1, og vi ser at det stemmer med summen av den gemometriske rekken.

Forventning og varians

Forventet antall forsøk før suksess er gitt ved $E(X)={\frac {1}{p}}$ og varians er gitt ved $Var(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}$