Ducci-sekvens

En Ducci-sekvens is er en sekvens av tallrekker satt sammen av heltall. Gitt en tallrekke $(a_1,a_2,...,a_n)$ lages en ny tallrekke, eller n-tuppel ved å ta den absolutte differansen:$(|a_1-a_2|, |a_2-a_3|, ..., |a_n-a_1|).$

Sagt på en annen måte, så setter vi $n$ tall rundt en sirkel og lager en ny sirkel av tall ved å ta differansen mellom hvert par av tall. Vi ignorer deretter negative fortegn og gjentar prosessen.

Det har blitt bevist at man vil alltid nå sekvensen (0,0,...,0) i et endeleg antall steg hvis $n$ er en potens av 2.

Siden $n$ er et endelig tall er det ikke til å komme utenom at sekvensen må begynne å gjenta seg selv etter en stund. Det er bevist at hvis $n$ ikke er en potens av to vil Ducci-sekvensen enten gå mot bare nuller eller gå inn i en løkke med det man har kalt "binære" n-tupler, det vil si tallrekker som bare inneholder to forskjellige tall. Ducci sekvenser er også kjent som the n-numbers game og konseptet har blitt utvidet med mer generelle resultater

Eksempelsekvenser

Denne 5-tuppel sekvensen går etter 7 steg inn i en binær løkke med periode på 15 steg.

$\begin{matrix} 1 5 7 9 9\\ 4 2 2 0 8\\ 2 0 2 8 4\\ 2 2 6 4 2\\ 0 4 2 2 0\\ 4 2 0 2 0\\ 2 2 2 2 4\\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} 0 0 0 2 2\\ 0 0 2 0 2\\ 0 2 2 2 2\\ 2 0 0 0 2\\ 2 0 0 2 0\\ 2 0 2 2 2\\ 2 2 0 0 0\\ 0 2 0 0 2\\ 2 2 0 2 2\\ 0 2 2 0 0\\ 2 0 2 0 0\\ 2 2 2 0 2\\ 0 0 2 2 0\\ 0 2 0 2 0\\ 2 2 2 2 0\\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} 0 0 0 2 2\\ 0 0 2 0 2\\ . . . . . . \end{matrix}$

Den følgende sekvensen har lengde 6 som ikke er en potens av to, men den ender likevel opp med bare nuller.

$\begin{matrix} 1 2 1 2 1 0\\ 1 1 1 1 1 1\\ 0 0 0 0 0 0\\ . . . . . . \end{matrix}$

Kilder

• Ducci Sequence