Ducci-sekvens

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En Ducci-sekvens is er en sekvens av tallrekker satt sammen av heltall. Gitt en tallrekke (a_1,a_2,...,a_n) lages en ny tallrekke, eller n-tuppel ved å ta den absolutte differansen:(|a_1-a_2|, |a_2-a_3|, ..., |a_n-a_1|).

Sagt på en annen måte, så setter vi n tall rundt en sirkel og lager en ny sirkel av tall ved å ta differansen mellom hvert par av tall. Vi ignorer deretter negative fortegn og gjentar prosessen.

Det har blitt bevist at man vil alltid nå sekvensen (0,0,...,0) i et endeleg antall steg hvis n er en potens av 2.

Siden n er et endelig tall er det ikke til å komme utenom at sekvensen må begynne å gjenta seg selv etter en stund. Det er bevist at hvis n ikke er en potens av to vil Ducci-sekvensen enten gå mot bare nuller eller gå inn i en løkke med det man har kalt "binære" n-tupler, det vil si tallrekker som bare inneholder to forskjellige tall. Ducci sekvenser er også kjent som the n-numbers game og konseptet har blitt utvidet med mer generelle resultater


Eksempelsekvenser[rediger | rediger kilde]

Denne 5-tuppel sekvensen går etter 7 steg inn i en binær løkke med periode på 15 steg.


\begin{matrix}
1     5     7     9     9\\
4     2     2     0     8\\
2     0     2     8     4\\
2     2     6     4     2\\
0     4     2     2     0\\
4     2     0     2     0\\
2     2     2     2     4\\
\end{matrix}


\begin{matrix}
0     0     0     2     2\\
0     0     2     0     2\\
0     2     2     2     2\\
2     0     0     0     2\\
2     0     0     2     0\\
2     0     2     2     2\\
2     2     0     0     0\\
0     2     0     0     2\\
2     2     0     2     2\\
0     2     2     0     0\\
2     0     2     0     0\\
2     2     2     0     2\\
0     0     2     2     0\\
0     2     0     2     0\\
2     2     2     2     0\\
\end{matrix}


\begin{matrix}
0     0     0     2     2\\
0     0     2     0     2\\
. . . . . .
\end{matrix}



Den følgende sekvensen har lengde 6 som ikke er en potens av to, men den ender likevel opp med bare nuller.


\begin{matrix}
1     2     1     2     1     0\\
1     1     1     1     1     1\\
0     0     0     0     0     0\\
. . . . . .
\end{matrix}

Kilder[rediger | rediger kilde]