Kompakt operator

I matematikk er en kompakt operator en lineær operator $T:X\to Y$, der X og Y er normerte vektorrom, slik at verdimengden til L i Y er relativ kompakt (tillukningen er kompakt).

Definisjon

La X og Y være normerte rom. En lineærtransformasjon $T:X\to Y$ er kompakt dersom for enhver begrenset følge $\{x_{n}\}$ i X, inneholder følgen $\{Tx_{n}\}$ i Y en konvergent delfølge.

Ekvivalent kan en kompakt operator defineres slik: Dersom T er en lineær operator, er T kompakt hvis og bare hvis for enhver begrenset delmengde $A\subset X$, er $T(A)\subset Y$ relativt kompakt.

Egenskaper

La X, Y og Y være normerte vektorrom, og $B(\cdot ,\cdot )$ og $K(\cdot ,\cdot )$ betegne mengden av henholdsvis begrensede og kompakte operatorer fra ett normert vektorrom til et annet.

Forhold til mengden av begrensede operatorer

En kompakt operator er også en begrenset operator. Mengden av kompakte operatorer $K(X,Y)$ er derfor inneholdt i mengden av begrensede operatorer B(X, Y). Hvis $S,T\in K(X,Y)$, og $a,b$ skalarer, så er også operatoren definert ved $aS+bT$ kompakt, og hvis $S\in B(X,Y)$ og $T\in B(Y,Z)$ og minst en av de er kompakt, er også operatoren $TS$ kompakt.

Dersom X er et normert rom, Y et Banach-rom og $\{T_{k}\}$ en følge i $K(X,Y)$ som konvergerer til en operator $T\in B(X,Y)$ er T også kompakt. Mengden av kompakte operatorer er derfor lukket i mengden av begrensede operatorer.

Endelig-dimensjonale rom

Dersom T er en lineær operator endelig rang, eller dersom enten X eller Y har endelig dimensjon, er T kompakt.

Verdimengden til T er separabel

Dersom T er en kompakt operator, er verdimengden (bildet) $Im(T)$ samt verdimengden til tillukningen ${\overline {Im(T)}}$ separable.

Følger av begrensede operatorer i Banach- og Hilbert-rom

Hvis X er et normert rom, Y et Banach-rom og $\{T_{k}\}$ en følge av begrensede operatorer med endelig rang, slik at $\{T_{k}\}$ konvergerer til T, er T kompakt. Hvis Y i tillegg er et Hilbert-rom er det motsatte også sant: Hvis T er kompakt, finnes det en følge $\{T_{k}\}$ av begrensede operatorer med endelig rang som konvergerer til T. Dette impliserer videre at T har samme rang som sin adjungerte, og at T er kompakt hvis og bare hvis den adjungerte T^* er kompakt.

Litteratur

• Bryan P. Rynne og Martin A. Youngson (2008). Real Analysis. Springer. ISBN 978-1-848-00004-9. 

Eksterne lenker

• (en) Eric W. Weisstein, Compact Operator i MathWorld.