Snells brytningslov

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
En lystråle avbøyes når den går fra et medium til et annet. Her bøyes den inn mot normalen til grenseflaten når det nederste mediet har en større brytningsindeks enn det øvre.

Snells brytningslov er en enkel formel brukt til å regne ut brytningsvinkelen θ2 for lys som går fra medium 1 til et annet medium 2. Den kalles noen ganger for sinusloven da den sier at sinus til denne vinkelen er proporsjonal med sinus til innfallsvinkelen θ1. Denne lovmessigheten ble påvist i 1621 av den nederlandske matematiker Willebrord Snellius (15801626) og ble først forsøkt forklart av den franske filosof og naturviter Rene Descartes (1596 - 1650).

Rundt 1660 ga den franske jurist og matematiker Pierre de Fermat (1601 - 1665) den riktige forklaringen basert på antagelsen at lyset går langsommere i et medium enn i vakuum. Denne reduksjonen av hastigheten er karakterisert ved mediets brytningsindeks. Dermed fikk loven sin endelige form

n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\,

hvor n1 og n2 er brytningsindeksene i de to mediene. Det er dette resultatet til Fermat som vanligvis blir omtalt som Snells brytningslov.

Historie[rediger | rediger kilde]

Det var velkjent at for eksempel når en lysstråle går fra luft ned i vann, vil den avbøyes eller brytes inn mot normalen til vannflaten. Hver innfallsvinkel θ1 gir en bestemt brytningsvinkel θ2. Hvis medium 1 er luft og medium 2 er vann, er altså θ2 < θ1. Det var ingen enkel, lineær sammenheng mellom disse to vinklene. Men i 1621 fant Snell at sinus til disse to vinklene var proporsjonale med hverandre. Matematiske kan dette sammenfattes i ligningen

 \sin\theta_1 = n_{12}\sin\theta_2\,

hvor konstanten n12 > 1 for overgangen fra luft til vann. Dette er den opprinnlige brytningsloven til Snell.

Descartes[rediger | rediger kilde]

Allerede Kepler hadde tidligere foreslått å bruke matematiske metoder til å beskrive lysets gang. På den tiden var det ikke kjent hvor fort lyset beveget seg, men Kepler mente at det måtte gå uendelig raskt. Disse ideene tok Descartes opp igjen i første del av sitt store verk Discours de la Méthode fra 1637 hvor han behandlet flere probemstillinger innen optikken.

I det mekaniske verdensbildet til Descartes tenkte han seg lys som bevegelse av små kuler eller partikler. Når de treffer grenseflaten mellom to medier, vil impulsen p til hver partikkel forandres, men komponenten langs flaten er bevart. Den er px = p sinθ når impulsvektoren danner vinkelen θ med normalen til flaten. Hvis massen til hver partikkel er m, så blir impulsen p = mv når den beveger seg med hastighet v. Dermed kommer man frem til at v1 sinθ1 = v2 sinθ2 da massen er konstant.

Descartes argumenterte videre med at når lyspartikkelene gikk gjennom grenseflaten mellom de to mediene, ville hastigheten deres øke slik at v2 > v1. Dermed hadde han en utledning av Snells lov med n12= v2/v1. Antagelsen den bygger på, sier derfor at lyspartiklene går raskere i et tett medium som vann enn i et tynt medium som luft. Men dette viste seg senere ikke å stemme og virker også intuitivt feil i en slik mekanisk beskrivelse. På Descartes sin tid var lyshastigheten ukjent, man viste ikke engang om den var endelig. Først rundt 1675 ble den målt av Ole Rømer og da ikke i et medium, men i vakuum.

Fermat[rediger | rediger kilde]

Så snart utledningen og resultatet til Descartes ble kjent, ble det kritisert av Fermat. Spesielt var han imot antagelsen om at lyspartiklene beveget seg raskere desto tettere mediet var. Dette problemet tok han opp igjen rundt 1660. I stedet for en mekanisk modell for lys, foreslo han at lyset alltid beveger seg langs den raskeste veien. Idag kalles dette Fermats prinsipp. Allerede fra antikken var det kjent at dette var tilfelle ved refleksjon av lys. Når lys går inn i et tettere medium som ved refraksjon, antok Fermat at lyshastigheten blir mindre. Er den c0 i vakuum, er den da c = c0/n i mediet hvor n > 1 er brytningsindeksen. Ved å benytte hans prinsipp om minste tid, følger da at

n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\,

som er akkurat Snells lov. Rundt 1850 ble lyshastigheten i vann målt av den franske fysiker Fizeau og funnet å ha en verdi mindre enn i vakuum. Derfor var antagelsen til Descartes feil, og Fermat hadde rett. Men i Frankrike blir brytningsloven fortsatt omtalt som Snells-Descartes lov.

Noen få år etter Fermat ble den samme antagelsen om redusert lyshastighet i et medium brukt av Christian Huygens til å utlede brytningsloven ved bruk av hans prinsipp om bevegelsen til lysets bølgefronter. På slutten av 1800-tallet kom den endelige forklaringen fra Maxwells ligninger.

Fotoner[rediger | rediger kilde]

Det er interessant å se sammenhengen mellom Descartes utledning basert på mekaniske lyspartikler og hvordan Snells lov oppstår i kvantemekanikken hvor lys kan betraktes som fotoner. Et foton med frekvens ν har energi E = hν hvor h er Plancks konstant. Dermed har det også en impuls p = E/c hvor c er lyshastigheten. Når det beveger seg fra et medium 1 til medium 2, kan man som Descartes, igjen bruke impulsbevarelse langs grenseoverflaten som gir betingelsen p1 sinθ1 = p2 sinθ2. Men da frekvensen til lyset ikke forandres, er dets energi E konstant under gjennomgangen. Skriver man så c1 = c0/n1 for lyshastigheten i medium 1 og tilsvarende for medium 2 hvor igjen c0 er lyshastigheten i vakuum, kommer man også frem til Snells brytningslov.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

F. A. Jenkins and H. E. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill Book Company, New York (1957).

M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, Oxford (1965).