Simpson-integrasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Simpson-approksimasjonen består i å erstatte funksjonen y = f(x) (blå) med en parabelbuei (rød) i hvert lite intervall.

Simpson-integrasjon er en metode i numerisk analyse til beregning av den tilnærmete verdien for det bestemte integralet av en funksjon. Approksimasjonen består i å utføre integrasjonen over like store intervaller hvor funksjonen erstattes med parabelbuer som går gjennom intervallenes midt- og endepunkt.

Metoden har fått sitt navn etter den engelske matematiker Thomas Simpson som beskrev den på 1700-tallet. Men dens opphav går lenger tilbake. Vel hundre år tidligere hadde Kepler gjort bruk av den til beregning av volumet til en tønne med vin. Han antok at den krumme veggen til tønnen kunne beskrives som del av en parabel. På tysk omtales derfor denne integrasjonsmetoden som Keplersche Fassregel (Keplers tønneregel).[1]

Matematisk formulering[rediger | rediger kilde]

Forandrer funksjonen y = f(x) seg lite i det lukkete intervallet axb, kan man erstatte den med kun en parabelbue. Denne har ligningen y = Ax2 + Bx + C hvor de ukjente koeffisientene bestemmes ut fra kravet om at den skal gå gjennom endepunktene og midtpunktet m = (a + b)/2  til intervallet. Legges dette i punktet x = 0, finner man dermed for parabelen

hvor y0 = f(a), y1 = f(m) og y2 = f(b). Kaller man lengden til intervallet b - a = 2h, fremkommer den tilnærmete verdien for integralet ved å integrere denne kvadratiske funksjonen fra -h  til +h. Det gir

Når integrasjonen går over et vilkårlig stort intervall, kan dette deles opp i n mindre delintervall hvor man kan benytte dette resultatet. Ved å adderere disse bidragene, kommer man frem til formelen for Simpson-integrasjon i det generelle tilfellet,

hvor nå lengden av et delintervall er 2h = (b - a)/n. Dette resultatet kan man også komme frem til etter en Richardson-ekstrapolasjon av den verdien som kommer frem ved trapesintegrasjon.

Nøyaktighet[rediger | rediger kilde]

Kalles den eksakte verdien av integralet for I  og Simpson-approksimasjonen for S, er feilen E = I - S  i tilnærmelsen

hvor c er et tall i intervallet mellom a og b.[2] Approksimasjonen er derfor ikke bare eksakt for funksjoner som er polynom av andre grad, men også for tredjegradspolynom som har den fjerdederiverte f (4) = 0. Generelt blir den bedre desto mindre intervallengden h er.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ G. Hämmerlin and K-H. Hoffmann, Numerical Mathematics, Springer-Verlag, New York (1991). ISBN 978-0-387-97494-1.
  2. ^ R.L. Burden and D.J. Faires, Numerical Analysis, Brooks/Cole, Boston (2005). ISBN 0-538-73351-9.