Setningen om uendelig mange aper

Setningen om uendelig mange aper (engelsk: the infinite monkey theorem) sier at hvis en ape trykker tilfeldig på en skrivemaskin over et uendelig langt tidsrom, vil den nesten helt sikkert inntaste eller forfatte en gitt tekst, for eksempel William Shakespeares komplette verker. Bemerk at «nesten helt sikkert» i denne sammenhengen er et matematisk uttrykk med en spesifikk betydning, og at «apen» ikke er en virkelig ape, men snarere en metafor for en abstrakt anordning som produserer tilfeldige bokstavsekvenser.

Bevis

Setningen er relativt enkel å bevise. For to statistisk uavhengige hendelser (der den ene hendelsen ikke påvirker sannsynligheten for den andre), er sannsynligheten for at begge skal inntreffe, produktet av sannsynligheten for hver av de to. Hvis sannsynligheten for regn en tilfeldig dag i Sydney er 0,3 og sannsynligheten for jordskjelv i San Francisco er 0,008, er sannsynligheten for at begge hendelser inntreffer på samme dag 0,3 · 0,008 = 0,0024.

Vi kan anta at en skrivemaskin har 50 taster, og at en ape «forsøker» å skrive ordet banan. Hvis tastene velges tilfeldig, er sannsynligheten for at den første bokstaven skal være b lik 1/50, det samme er sannsynligheten for at den andre bokstaven er a, og så videre. Disse hendelsene er uavhengige, sannsynligheten for at de fem første bokstavene danner ordet banan er derfor:

(1/50) · (1/50) · (1/50) · (1/50) · (1/50) = (1/50)⁵.

Sannsynligheten for at ordet ikke blir banan i en slik blokk på fem bokstaver, er dermed 1 – (1/50)⁵ og sannsynligheten for å ikke skrive "banan" i noen av de n første blokkene av tegn er da:

$X_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{5}}}\right)^{n}$

Når n øker, blir X_n mindre. Når n = 1 million er sannsynligheten (X_n) lik 99,68 %, men når n = 200 millioner nærmer den seg 50 % og for n = 2 milliarder nærmer den seg en promille. Om vi dessuten regner med tilfeller der ordet skrives på tvers av blokkgrensene, synker sannsynligheten for å ikke få med ordet i bokstavrekken enda raskere. Samme resonnement gjelder for lengre bokstavrekker. Når n går mot uendelig, nærmer X_n seg null.

Dette betyr at det er 100 % sannsynlighet for at en eller flere av et uendelig antall aper vil produsere en gitt tekst på første forsøk (eller at de nesten helt sikkert vil gjøre dette). Dette viser hvorfor uendelig mange aper (nesten helt sikkert) vil skrive en tekst like fort som et menneske som taster helt presist og kopierer teksten fra originalen.

Sannsynlighet

Hvis man ser bort fra tegnsetting, mellomrom og store bokstaver, vil en ape som taster tilfeldige bokstaver, ha sannsynligheten én til 26 for å taste den første bokstaven i Hamlet riktig (hvis man begrenser seg til det engelske alfabetet). Den har sjansen én til 676 (26 ganger 26) for å taste de to første bokstavene korrekt. Fordi sannsynligheten minker eksponentielt, vil den etter 20 bokstaver bare ha sjansen 1 til 26²⁰ = 19 928 148 895 209 410 000 000 000 000, noe som omtrent svarer til sjansen for å vinne førstepremie i amerikansk lotto fire ganger på rad. Sjansen for å skrive hele Hamlet ved å taste tilfeldige bokstaver, er derfor så forsvinnende liten at den nærmest er umulig å fatte. Selv hvis man fjerner all tegnsetting, inneholder teksten i Hamlet mer enn 130 000 bokstaver, noe som fører til en sannsynlighet på 1 til 3,4 · 10¹⁸³⁹⁴⁶. Til sammenligning er det kun rundt 10⁷⁹ atomer i det synlige univers, og det er bare gått 10¹⁷ sekunder siden Big Bang.

Likevel er det at det faktisk finnes en viss sjanse, selv om den er ekstremt liten, nøkkelen til setningen om uendelig mange aper, fordi Kolmogorovs lov sier at en slik en uendelig følge av uavhengige hendelser enten må ha sannsynligheten 0 eller 1. Ettersom vi ovenfor har vist at sjansen ikke er 0, må den være 1.

Gian-Carlo Rota skrev i en lærebok om sannsynlighet (som ikke ble ferdig før hans død):

Hvis apen kunne utføre et tasteslag hvert nanosekund, vil den forventede ventetid før apen har skrevet Hamlet være så lang at universets anslåtte alder er ubetydelig i sammenligning (...) dette er ikke en praktisk metode for å skrive skuespill.