Pytagoreisk trippel

Et pytagoreisk trippel er tre positive heltall $a$ , $b$ og $c$ som oppfyller den pytagoreiske ligningen^[1]

a^{2}+b^{2}=c^{2}

.

En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er $(a,b,c)$ , med tallene ordnet i stigende rekkefølge. Et velkjent eksempel er (3,4,5). Ved å kreve heltallsløsninger blir Pytagoras ligning en ikkelineær diofantisk ligning.

Navnet «pytagoreisk trippel» har opphav i den greske matematikeren Pytagoras og Pytagoras’ læresetning. Dersom alle sidelengdene i en rettvinklet trekant er heltallsverdier, så danner sidelengdene et pytagoreisk trippel der a og b utgjør katetene og c hypotenusen. Omvendt vil en trekant med sidelengder lik et pytagoreisk trippel være rettvinklet. Mens hypotenusen c alltid er et oddetall, vil de to katetene a og b alltid være et like og et ulike tall.

I et primitivt pytagoreisk trippel har tallene $a$ , $b$ og $c$ ingen felles faktorer. Det eksisterer flere formler for å konstruere pytagoreiske tripler, både primitive og ikke-primitive.

Pytagoreiske tripler har vært kjent både i babylonsk, egyptisk, kinesisk og indisk matematikk lenge før Pytagoras levde. For en omtale av historien til pytagoreiske tripler, se Pytagoras’ læresetning.

Primitive pytagoreiske tripler[rediger | rediger kilde]

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Dersom $(a,b,c)$ er et pytagoreisk trippel, så vil også $(na,nb,nc)$ være det, for et vilkårlig heltall $n$ . Fra dette følger det automatisk at det finnes uendelig mange pytagoreiske tripler. Dersom de tre tallene $a$ , $b$ , og $c$ ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et primitivt trippel.^[2] Tallene er da relativt primiske. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2.

Elementære egenskaper[rediger | rediger kilde]

For primitive pytagoreiske tripler gjelder følgende elementære egenskaper

c er alltid oddetall. Ett av tallene a og b er oddetall, det andre er partall.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Der finnes 16 primitive pytagoreiske tripler med $c\leq 100$ :

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Den følgende listen viser primitive pytagoreiske tripler med $100<c\leq 300$ :

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Konstruksjon av pytagoreiske tripler[rediger | rediger kilde]

Formler for å konstruere pytagoreiske tripler har vært kjent i svært lang tid. I bok X av Euklids Elementer beskrives hvordan man kan beregne pytagoreiske tripler.^[3] I moderne notasjonen tilsvarer denne fremgangsmåten uttrykket

(a,b,c)=(\ 2uv,u^{2}-v^{2},u^{2}+v^{2})

hvor $u$ og $v$ er to vilkårlige, positive heltall som ikke begge er oddetall. Dessuten er $u>v$ , og de to tallene skal ikke ha noen felles faktor.

En lignende formel var tidligere funnet av Pytagoras,

(a,b,c)={\big (}m,{\tfrac {1}{2}}(m^{2}-1),{\tfrac {1}{2}}(m^{2}+1){\big )}

der m er et oddetall. En lignende formel ble foreslått av Platon ved å doble sidelengdene i Pytagoras' formel og så tillate både like og ulike verdier for heltallet m. Begge formlene er spesielle utgaver av den mer generelle formelen til Euklid.^[4]

Rasjonale punkt på en enhetssirkel[rediger | rediger kilde]

En enkel omforming av ligningen for et pytagoreisk trippel gir

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1

Å finne pytagoreisk tripler svarer altså til å finne et punkt på enhetssirkelen x² + y² = 1, der koordinatene er gitt ved to rasjonale tall.^[5]

Slike rasjonale punkt på enhetssirkelen kan finnes ved å skjære den med en rett linje y = t (x + 1) gjennom punktet (-1,0) og med et stigningstall t som er er rasjonalt tall. Innsatt i sirkelligningen, finner man dermed x-koordinaten til skjæringspunktet fra

(x+1)\left[(x-1)+t^{2}(x+1)\right]=0

Bortsett fra den trivielle løsningen x = -1, er den andre løsningen

x={1-t^{2} \over 1+t^{2}}\;\;\;{\text{som betyr at}}\;\;y={2t \over 1+t^{2}}

.

Ved å uttrykke det rasjonale tallet t ved to heltall u og v som t = v/u, får man fra denne løsningen (x,y) = (a/c, b/c) at

\left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)=\left({\frac {u^{2}-v^{2}}{u^{2}+v^{2}}},{\frac {2uv}{u^{2}+v^{2}}}\right)

som er innholdet av Euklids formel for pytagoreiske trippel.^[6]

Pytagoreiske primtall[rediger | rediger kilde]

Hypotenusen c i en rettvinklet trekant med sider gitt ved et pytagoreisk trippel (a,b,c) er alltid et oddetall. Mange av dem er primtall p. De ti første er p = 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73 og 89. De kalles for «pytagoreiske primtall» og er alle på formen 4n + 1 hvor n et et naturlig tall. Det som gjør dem spesielle, er at hvert av dem kan skrives på en entydig måte som summen av to kvadrat,

p=u^{2}+v^{2}

i overensstemmelse med Euklids formel. For eksempel er 5 = 1² + 2² og 89 = 5² + 8².

Generelt er summen av et kvadrert liketall og et kvadrert oddetall av formen 4n + 1 eller 4n + 3 der n et et naturlig tall. Allerede rundt 1640 påpekte Fermat at primtall av formen 4n + 1 kan skrives som summen av to kvadrat.^[6]

Generaliseringer[rediger | rediger kilde]

Pytagoreiske tripler er løsninger av den diofantiske ligningen

a^{n}+b^{n}=c^{n}

når $n=2$ . Pierre de Fermat skrev i 1637 i margen til en bok at han hadde funnet et bevis for at ligningen ikke har løsninger for $n>2$ , uten senere å gi noe bevis. Påstanden er i ettertiden kalt Fermats siste teorem. Et bevis for dette teoremet ble først gitt av Andrew Wiles i 1994.

Referanser[rediger | rediger kilde]

^ G.H. Hardy, E.W. Wright (2008). An introduction to the theory of numbers. Oxford: Oxford University Press. s. 245-247. ISBN 978-0-19-921985-8.
^ Judith D. Sally, Paul Sally (2007). Roots to research: A vertical development of mathematical problems (engelsk). American Mathematical Society Bookstore. s. 63ff. ISBN 978-0-8218-4403-8.
^ A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.49
^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.81
^ A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.21ff
^ ^a ^b J. Stillwell, Elements of Number Theory, Springer-Verlag, New York (2003). ISBN 978-1--4419-3066-8.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

Holme, Audun (2008). Matematikkens historie. 1. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1.
Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

«Pythagorean Triple». Wolfram Math World. Besøkt 19. mars 2021.

[HW245-1] G.H. Hardy, E.W. Wright (2008). An introduction to the theory of numbers. Oxford: Oxford University Press. s. 245-247. ISBN 978-0-19-921985-8.

[JS-2] Judith D. Sally, Paul Sally (2007). Roots to research: A vertical development of mathematical problems (engelsk). American Mathematical Society Bookstore. s. 63ff. ISBN 978-0-8218-4403-8.

[AH49-3] A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.49

[TH81-4] T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.81

[AH21-5] A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.21ff

[Stillwell-6] J. Stillwell, Elements of Number Theory, Springer-Verlag, New York (2003). ISBN 978-1--4419-3066-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]