Pytagoreisk trippel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Pytagoreisk trippel i en rettvinklet trekant

Et pytagoreisk trippel er tre positive heltall , og som oppfyller den pytagoreiske ligningen[1]

.

En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er , med tallene ordnet i stigende rekkefølge. Et velkjent eksempel er (3,4,5). Ved å kreve heltallsløsninger blir Pytagoras ligning en ikkelineær diofantisk ligning.

Navnet «pytagoreisk trippel» har opphav i den greske matematikeren Pytagoras og Pytagoras’ læresetning. Dersom alle sidelengdene i en rettvinklet trekant er heltallsverdier, så danner sidelengdene et pytagoreisk trippel der a og b utgjør katetene og c hypotenusen. Omvendt vil en trekant med sidelengder lik et pytagoreisk trippel være rettvinklet. Mens hypotenusen c alltid er et oddetall, vil de to katetene a og b alltid være et like og et ulike tall.

I et primitivt pytagoreisk trippel har tallene , og ingen felles faktorer. Det eksisterer flere formler for å konstruere pytagoreiske tripler, både primitive og ikke-primitive.

Pytagoreiske tripler har vært kjent både i babylonsk, egyptisk, kinesisk og indisk matematikk lenge før Pytagoras levde. For en omtale av historien til pytagoreiske tripler, se Pytagoras’ læresetning.

Primitive pytagoreiske tripler[rediger | rediger kilde]

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Dersom er et pytagoreisk trippel, så vil også være det, for et vilkårlig heltall . Fra dette følger det automatisk at det finnes uendelig mange pytagoreiske tripler. Dersom de tre tallene , , og ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et primitivt trippel.[2] Tallene er da relativt primiske. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2.

Elementære egenskaper[rediger | rediger kilde]

For primitive pytagoreiske tripler gjelder følgende elementære egenskaper

  • c er alltid oddetall. Ett av tallene a og b er oddetall, det andre er partall.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Der finnes 16 primitive pytagoreiske tripler med :

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)

Den følgende listen viser primitive pytagoreiske tripler med :

(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Konstruksjon av pytagoreiske tripler[rediger | rediger kilde]

Formler for å konstruere pytagoreiske tripler har vært kjent i svært lang tid. I bok X av Euklids Elementer beskrives hvordan man kan beregne pytagoreiske tripler.[3] I moderne notasjonen tilsvarer denne fremgangsmåten uttrykket

hvor og er to vilkårlige, positive heltall som ikke begge er oddetall. Dessuten er , og de to tallene skal ikke ha noen felles faktor.

En lignende formel var tidligere funnet av Pytagoras,

der m er et oddetall. En lignende formel ble foreslått av Platon ved å doble sidelengdene i Pytagoras' formel og så tillate både like og ulike verdier for heltallet m. Begge formlene er spesielle utgaver av den mer generelle formelen til Euklid.[4]

Rasjonale punkt på en enhetssirkel[rediger | rediger kilde]

En enkel omforming av ligningen for et pytagoreisk trippel gir

Å finne pytagoreisk tripler svarer altså til å finne et punkt på enhetssirkelen x 2 + y 2 = 1, der koordinatene er gitt ved to rasjonale tall.[5]

Slike rasjonale punkt på enhetssirkelen kan finnes ved å skjære den med en rett linje y = t (x + 1) gjennom punktet (-1,0) og med et stigningstall t som er er rasjonalt tall. Innsatt i sirkelligningen, finner man dermed x-koordinaten til skjæringspunktet fra

Bortsett fra den trivielle løsningen x = -1, er den andre løsningen

.

Ved å uttrykke det rasjonale tallet t ved to heltall u og v som t = v/u, får man fra denne løsningen (x,y) = (a/c, b/c) at

som er innholdet av Euklids formel for pytagoreiske trippel.[6]

Pytagoreiske primtall[rediger | rediger kilde]

Hypotenusen c i en rettvinklet trekant med sider gitt ved et pytagoreisk trippel (a,b,c) er alltid et oddetall. Mange av dem er primtall p. De ti første er p = 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73 og 89. De kalles for «pytagoreiske primtall» og er alle på formen 4n + 1 hvor n et et naturlig tall. Det som gjør dem spesielle, er at hvert av dem kan skrives på en entydig måte som summen av to kvadrat,

i overensstemmelse med Euklids formel. For eksempel er 5 = 12 + 22 og 89 = 52 + 82.

Generelt er summen av et kvadrert liketall og et kvadrert oddetall av formen 4n + 1 eller 4n + 3 der n et et naturlig tall. Allerede rundt 1640 påpekte Fermat at primtall av formen 4n + 1 kan skrives som summen av to kvadrat.[6]

Generaliseringer[rediger | rediger kilde]

Pytagoreiske tripler er løsninger av den diofantiske ligningen

når . Pierre de Fermat skrev i 1637 i margen til en bok at han hadde funnet et bevis for at ligningen ikke har løsninger for , uten senere å gi noe bevis. Påstanden er i ettertiden kalt Fermats siste teorem. Et bevis for dette teoremet ble først gitt av Andrew Wiles i 1994.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ G.H. Hardy, E.W. Wright (2008). An introduction to the theory of numbers. Oxford: Oxford University Press. s. 245-247. ISBN 978-0-19-921985-8. 
  2. ^ Judith D. Sally, Paul Sally (2007). Roots to research: A vertical development of mathematical problems (engelsk). American Mathematical Society Bookstore. s. 63ff. ISBN 978-0-8218-4403-8. 
  3. ^ A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.49
  4. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.81
  5. ^ A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.21ff
  6. ^ a b J. Stillwell, Elements of Number Theory, Springer-Verlag, New York (2003). ISBN 978-1--4419-3066-8.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Holme, Audun (2008). Matematikkens historie. 1. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1. 
  • Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]