Nulldivisor

I abstrakt algebra, om R er en kommutativ ring, så er et element a i R en nulldivisor om det finnes et element b ≠ 0 i R slik at a·b = 0. Om en kommutativ ring ikke har nulldivisorer, så kalles den for et integritetsområde. I en ring som ikke er kommutativ så skiller man på høyrenulldivisorer og venstrenulldivisorer.

Eksempel

• De hele tallene Z, de reelle tallene R og de komplekse tallene C har ikke nulldivisorer.
• Matrisen $\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$ i matriseringen av 2×2-matriser med reelle elementer er en nulldivisor, ettersom

$\left({\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right)\,\left({\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right)$.

Produktet av to kvadratiske matriser kan således bli lik nullmatrisen, til tross for at ingen av disse er nullmatrisen. I denne ringen er nulldivisorene de matrisene hvis determinant er lik null.

• I ringen av restklasser av hele tall modulo 4, $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$, så er restklassen ${\overline {2}}$ en nulldivisor siden ${\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}$.

Litteratur

• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.
• B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin 1950.
• Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1, D. van Nostrand Company, Princeton New Jersey 1958.