Normert vektorrom

Et normert vektorrom er i matematikk et vektorrom der det er definert en norm, det vil si et lengdemål for vektorene. Ett og samme vektorrom kan være utgangspunkt for flere normerte rom, ved å bruke forskjellige normer.

Et normert vektorrom er en spesiell type metrisk rom, der normen også definerer en metrikk i rommet. Denne metrikken definerer også en topologisk struktur i rommet. Et indreproduktrom kan gjøres til et normert vektorrom ved å definere normen fra indreproduktet.Normen gjør det mulig å studere egenskaper som kontinuitet og konvergens i rommet.

Et komplett normert vektorrom kalles et banachrom og er et vektorrom der alle cauchyfølger konvergerer mot en grense som også ligger i rommet.

Studiet av normerte vektorrom og banachrom er en viktig del av det matematiske emneområdet funksjonalanalyse.

Definisjon

La $V$ være et vektorrom over en kropp $K$, der $K$ er enten $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$. Vektorrommet er normert dersom det er definert en norm på $V$, det vil si en funksjon $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty )$ med følgende egenskaper

1. $\lVert x\rVert \geq 0$ for alle $x\in V$ med likhet hvis og bare hvis $x=0$;
2. $\lVert \alpha x\rVert =|\alpha |\lVert x\rVert$ for alle $\alpha \in K$ og alle $x\in V$;
3. $\lVert x+y\rVert \leq \lVert x\rVert +\lVert y\rVert$ for alle $x,y\in V.$

Den siste ulikheten kalles trekantulikheten.

En undermengde av et normert vektorrom kalles et underrom dersom det er lukket under de same operasjonene som i vektorrommet samt at det er utstyrt med samme norm som i vektorrommet.

Eksempler

Mengden av reelle tall $\mathbb {R}$ med normen definert fra absoluttverdien $\Vert x\rVert =|x|$ er et normert vektorrom.

Mengden $\mathbb {R} ^{3}$ med den euklidske normen er et normert vektorrom. Den euklidske normen i dette rommet er definert ved

$\|v\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\qquad v=(x,y,z)$.

Mengden av alle kontinuerlige funksjoner $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ kan gjøres til et normert vektorrom ved å definere normen

$\lVert f\rVert =\max _{t\in [0,1]}f(t)$

Topologi i et normert vektorrom

Fra normen kan en definere en metrikk ved

$d(x,y)=\lVert x-y\rVert$.

Metrikken definerer et globalt avstandsmål i rommet. En definert metrikk i en mengde vil alltid introdusere en topologisk struktur.

Med normen som metrikk i rommet kan en studere egenskaper til elementene: i funksjonsrom ulike former for kontinuitet og derivasjon, i rom av følger ulike typer konvergens.

Lineære transformasjoner og duale rom

Mengden av kontinuerlige, lineære transformasjoner mellom to vektorrom $T:V\to W$ kan også definere et vektorrom. Dette rommet kan gjøres normert ved å definere en norm basert på normene i de to involverte vektorrommene:

$\|T\|=\sup _{v\neq 0}{\frac {\|Tv\|}{\|v\|}}=\sup _{\|v\|=1}\|Tv\|$.

Denne normen kalles operatornormen for transformasjonene. Når både $V$ og $W$ har endelig dimensjon, så har $T$ en matriserepresentasjon, og operatornormen er lik spektralnormen.

Mengden av kontinuerlige, lineære funksjonaler på et normert vektorrom $V$ kalles det normerte duale rom (normerte dualen, normerte konjungerte) til vektorrommet. Normen til en funksjonal $l(x)$ er gitt ved

$\lVert l\rVert =\sup _{\lVert x\rVert =1}|l(x)|\qquad x\in V$.

Det duale rommet til $V$ skrives ofte som $V^{*}$. Siden dette også er et vektorrom har det igjen et dualt rom $V^{**}$, og dette kalles den andre dualen til $V$. Duale rom har mange anvendelser i deler av matematikk som bruker vektorrom. Sammenhengen mellom (normerte) vektorrom og duale rom studeres i funksjonalanalyse.

Et normert vektorrom er refleksivt dersom den andre dualen er lik rommet selv: $V^{**}=V$. Eksempler på refleksive normerte rom er $\mathbb {R} ^{n}$ og rommet av polynom med rasjonale koeffisienter.

Et viktig teorem om lineære funksjonaler på et normert vektorrom er Hahn–Banach-teoremet.

Banachrom

Utdypende artikkel: Banach-rom

Et banachrom er et normert vektorrom der alle cauchyfølger konvergerer mot en grense i rommet. Det vil si at et banachrom er et komplett, normert vektorrom.

Dualen til et normert vektorrom er et banachrom.

Indreproduktrom som normerte vektorrom

Et indreproduktrom kan gjøres til et normert vektorrom ved å definere normen fra indreproduktet:

$\|x\|=\langle x,x\rangle ^{1/2}\,$.

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

Se også

• Struktur (matematikk)