Liber abaci

Side i Liber abaci

Liber abaci (også skrevet Liber abbaci; norsk: Regnebok) er et matematisk verk skrevet av Leonardo Fibonacci, utgitt første gang i 1202. Boka fikk stor betydning for introduksjon og bruk av hindu-arabiske tall i Europa. I boka presenteres også tallene som i ettertiden er kalt fibonaccitall.

Historie

Leonardo Fibonacci (ca. 1170 – ca. 1250) var født inn i en familie fra Pisa, men han vokste opp i Bugia (i dag Béjaïa) i Algerie. Gjennom opplæring og reisevirksomhet kom han i kontakt med gresk og arabisk matematikk, inkludert bruken av de arabiske tallene. Da han som voksen returnerte for godt til Pisa, laget han kort tid etterpå, i 1202, den første utgaven av Liber abaci. Manuskriptet var håndskrevet, siden dette var før innføring av trykkekunsten. Kopier måtte altså skrives av for hånd.

En ny og litt endret utgave laget Fibonacci i 1228. Den andre utgaven av verket ble dedisert til Michael Scotus (1175 – ca. 1232), matematiker og hoffastrolog hos Fredrik II. Scotus hadde bedt om å få en kopi av manuskriptet.

Fibonaccis manuskript var på ingen måte det første i Europa til å beskrive det hindu-arabiske tallsystemet, men systemet var hovedsaklig kjent av en snever kunnskapselite. Bruken av romertall var dominerende. Liber abaci fikk stor betydning for gjennomslaget til dette tallsystemet i Europa, boka ble gjentatte ganger kopiert og etterlignet. Andre enklere skrifter som forklarte systemet skulle likevel komme til å bli mer populære. Motstanden mot å kaste ut romertallene var stor, og det skulle det gå flere hundre år etter Liber abaci før det hindu-arabiske systemet fikk skikkelig gjennomslag i Europa.

I over tre hundre år var Liber abaci grunnlag for pensum i skoler i Toscana som underviste gutter som skulle bli handelsmenn.

Manuskriptkopier

Ingen utgave av Fibonaccis manuskript fra 1202 er bevart. Av 1228-utgaven eksisterer 14 kopier, men bare tre av disse er komplette, alle tre oppbevart i Italia.

En trykt utgave av Liber abaci kom først i det attende århundre, da franskmannen Baldassare Boncompagni (1821 – 1894) inkluderte 1228-versjonen som bind 1 i en to-binds-utgave av Leonardos skrifter, Scritti de Leonardo Pisano. Den trykte utgaven baserte seg på en kopi fra tidlig 1400-tall. Denne kopien er nå en del av en større samling manuskripter, Conventi Sopressi, samlet fra ulike klostre og oppbevart ved Biblioteca Nazionale Centrale i Firenze. Kvaliteten på kopien er ikke god, og dette førte til at Boncompagni introdusere en rekke feil i den trykte versjonen.

En nyere engelsk oversettelse er utgitt av Laurence Sigler i 2002. Denne utgaven er basert på Baldassare Boncompagnis latinske versjon og er den første versjonen på et moderne språk.

Tittel

Tittelen på verket blir noen ganger ordrett oversatt med «boka om abakusen», med henvisning til abakusen, brukt til praktisk regning. Manuskriptet omhandler imidlertid ikke abakusen, men er en drøfting av metoder i aritmetikk og algebra. På Leonardos tid var ordet abaci gått over til å omfatte både kulerammer og metoder som ble brukt for å gjennomføre beregninger, metoder som paradoksalt ikke brukte abakusen. En maestro d'abbaco var en person kyndig i beregninger med hindu-arabiske tall. På norsk er tittelen gjengitt som Regnebok.

Innhold

Manuskriptet består av 15 kapitler på over fire hundre sider. Fibonacci uttrykket eksplisitt et ønske om å introdusere de hindu-arabiske tallene til det italienske folket. Han ønsker å vise at disse kan brukes til praktisk regning: Mange av problemene i Liber abaci er hentet fra handelsregning og regnskap, som veksling mellom valutakurser, mål og vekt, rente og rentesrente. Men Liber abaci er også et teoretisk verk, der Fibonacci følger i tradisjonen fra Euklid, med setninger og bevis. Her presenteres både allment kjente metoder, stoff hentet fra arabiske tekster og originalarbeid fra Fibonacci selv.

I introduksjonen framhever Fibonacci koblingen mellom geometri og aritmetikk, men geometriske figurer er i boka kun brukt til å illustrere tallmessige beregninger.

Boka bruker flere kapitler på å presentere «de ni indiske tallene» og tegnet 0, samt vise hvordan disse tallene brukes i regneoperasjoner. Fibonacci skriver at tallet null er kalt «zephirum» på arabisk, det vil si «ingenting, siffer». Den italienske formen ble zefiro, og fra dette ordet er senere avledet både siffer og engelsk zero. Addisjon og multiplikasjon av små tall er vist i tabeller, for å læres utenat, helt tilsvarende som en gjør i dag. Store tall skrives med siffer gruppert tre og tre, for å gjøre tallene mer lesbare.

Fibonacci viser også hvordan hånd og fingre kan brukes til å lage et system for å huske tall under en regneoperasjon, for eksempel når en må låne under en subtraksjon. En kunne bokstavelig «holde tallet i hånden», et system som kom i utstrakt bruk.

Selv om Fibonacci konsekvent bruker det hindu-arabiske titallssystemet, tar han det ikke helt ut til å omfatte desimaltall. Han følger tradisjonen med å bruke stambrøker og vanlige brøker. Han bruker vertikal brøkstrek, men var antagelig ikke den første til å gjøre dette. Brøken plasseres foran heltallet, og dette skyldes antagelig påvirkning fra arabiske tekster, som er skrevet fra høyre mot venstre. I stedet for å skrive $11{5 \over 6}$ skriver han ${1 \over 3}{1 \over 2}11$, der addisjon skal brukes mellom sidestilte brøker. Brøknotasjonen er med på å gjøre manuskriptet tungt å lese. Boka inneholder tabeller for å bryte vanlige brøker ned til stambrøker.

I kapittel 12 skriver han desimaltallet 28.2429536481 på forma

${\frac {1}{10}}{\frac {8}{10}}{\frac {4}{10}}{\frac {6}{10}}{\frac {3}{10}}{\frac {5}{10}}{\frac {9}{10}}{\frac {2}{10}}{\frac {4}{10}}{\frac {2}{10}}24$.

Negative tall opptrer både i beregninger og i løsninger i boka.

Fibonacci har ikke dagens symbolspråk, og en ukjent størrelse $x$ er omtalt med ord, som «res» eller «radix». Igjen setter Fibonacci koeffisienten etter den ukjente, som i «res 12» = $12x$. En andre-potens $x^{2}$ er omtalt som «census» og en tredje-potens «cubus». For $x^{4}$ skriver Fibonacci «census census» og for $x^{6}$ enten «cubus cubus» eller «census census census», og så videre. Bruken av ord i stedet for symbolspråk er i dag omtalt som «retorisk algebra».

Et av problemene i boka er slik:

Syv gamle kvinner går til Rom,

hver med syv muldyr.

Hvert muldyr bærer syv sekker,

hver sekk med syv brød.

Med hvert brød er det syv kniver,

hver kniv er stukket i syv skjeder.

Hvor mange i alt er på veien til Rom?

I Liber abaci bruker Fibonacci ordet primi, men det er uklart når betegnelsen primtall ble innført.

Fibonaccitall

Utdypende artikkel: Fibonaccitall

I Liber abaci presenterer Fibonacci et problem knyttet til formering i en idealisert kaninflokk, og løsningen på problemet er en følge av heltall, i dag kalt fibonaccitall. De to første leddene i følgen er 0 og 1, og påfølgende ledd er gitt som summen av de to forrige.

Fibonacci var ikke den første til å beskrive ledd i denne spesielle tallfølgen, det ble gjort av indiske matematikere flere hundre år før Kristus. Navnene fibonaccitall og fibonaccifølge ble først brukt av den franske matematikeren Edouard Lucas (1841–1891).

Kapitteloversikt

Nummeret viser til kapittel. Oversikten er hentet fra introduksjonen i Siglers bok og fra Keith Devlin. Kapitteloverskrifter varierer fra kopi til kopi av manuskriptet, kanskje fordi den som kopierte følte seg fri til å gjøre forbedringer i teksten.

1. Introduksjon av de hindu-arabiske tallene, fra 0 til 9. Bruk av disse tallene til å skrive et vilkårlig stort tall. Bruk av hånd og fingre for å huske tall.
2. Multiplikasjon av tall, først for to tall begge med to siffer og for et en-sifret tall multiplisert med et vilkårlig stort tall. Deretter bygges systemet ut til multiplikasjon av mer vilkårlige tall. Metoder for å sjekke svaret.
3. Addisjon av vilkårlige hele tall.
4. Subtraksjon av vilkårlige hele tall.
5. Divisjon av små tall og enkle brøker. Metoder for å sjekke svaret.
6. Regneoperasjoner for blandete tall, det vil si sammensetninger av heltall og ekte brøker.
7. Videre behandling av regneoperasjoner for blandete tall.
8. Handelsregning med bruk av proporsjoner. Hvis 2 pund av bygg koster 5 soldi, hva koster 7 pund? Problemer i veksling.
9. Videre behandling av handelsregning med proporsjoner.
10. Beregninger med investeringer og profitt for selskap med flere deltakere.
11. Problemer knytter til metallinnhold i mynter. Italia hadde på Leonardos tid 28 bystater, som alle ga ut egne mynter. Den relative verdien og metallinnholdet til myntene kunne også variere i tid. Regulering og veksling av valuta var en stor praktisk utfordring.
12. Bruk av regula falsi for å løse lineære ligninger., med både én og flere ukjente. Også bruk av en direkte løsningsmetode, tidligere presentert av perseren Al-Khwârizmî. Dette er et stort kapittel, på nesten to hundre sider.
13. Summasjon av endelige aritmetiske rekker. Videre løsning av lineære ligninger med heltallsløsninger, altså diofantiske ligninger. Fibonaccitallene.
14. Rotutdragning, basert på Euklids Elementer, bok X.
15. Proporsjoner og elementære geometriske problem

Litteratur

• Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 
• Laurence Sigler (2002). Fibonacci's Liber Abaci (PDF). Springer. ISBN 978-0-387-40737-1.