Levi-Civita-symbol

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Et Levi-Civita-symbol er en matematikk objekt som ofte opptrer i sammenheng med vektorer og tensorer. Det omtales også som permutasjonssymbolet og angir fortegnet til en permutasjon av de naturlige tallene 1,2,3, ..., n. For hver verdi av n finnes et slikt symbol. Navnet er forbundet med den italienske matematiker Tullio Levi-Civita som var en av grunnleggerne av tensoranalysen.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Levi-Civita-symbolet kan defineres som en tensor ε av rang n som er antisymmetrisk i alle sine indekser. Dets komponenter kan derfor skrives som εi1i2 ... in og oppfyller betingelsen

for hvert ombytte av to vilkårlige indekser.[1] Hvis to eller flere av dem er like, har derfor symbolet verdien null. Antall komponenter som er forskjellig fra null, vil da være n!. De kan alle finnes fra

hvor p kalles «pariteten» til permutasjonen av indeksene og (−1)p er dens fortegn. Den absolutte verdien av symbolet er dermed gitt ved ε12…n som vanligvis velges å ha verdien +1. Med dette valget vil

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over alle par med like indekser.

Determinanter[rediger | rediger kilde]

En determinant er antisymmetrisk i ethvert ombytte av to rader eller to kolonner. Determinanten til en n × n matrise A med elementer Aij kan derfor skrives på en kompakt form ved bruk av Levi-Civita-symbolet.[2] Da er den gitt som

eller kan finnes fra den ekvivalente formen

når man igjen summerer over alle par med like indekser.

Anvendelser[rediger | rediger kilde]

Betegnelsen «det n-dimensjonale Levi-Civita-symbolet» refererer til antall indekser som symbolet har. Den definerer samtidig dimensjonen til vektorromet eller mangfoldigheten hvor symbolet benyttes. Dets detaljerte egenskaper avhenger av denne dimensjonen.

To dimensjoner[rediger | rediger kilde]

Når antall dimensjoner er n = 2, har symbolet bare to komponenter ε12 = 1 og ε21 = -1 som er forskjellig fra null. Det kan derfor representeres ved matrisen

Komponentene oppfyller nå den viktige likheten

hvor Kronecker-symbolet δij opptrer på høyre side. Den får bare bidrag når ij and mn og må være antisymmetrisk i disse to indeksparene. Setter man m = i, blir dermed εij εin = δjn. Dermed er εij εij = δjj = 2 som forventet i n = 2 dimensjoner.

Resultatet for produktet av to Levi-Civita-symbol kan skrives på den ekvivalente formen

På denne formen kan resultatet generaliseres til å gjelde for et vilkårlig antall indekser.

Levi-Civita-symbolet i to dimensjoner benyttes spesielt i forbindelse med Weyl-spinorer som har to komponenter. De spiller en fundamental rolle i moderne teorier med supersymmetri.[3] Tidligere ble slike spinorer benyttet til å beskrive masseløse nøytrinoer.

Tre dimensjoner[rediger | rediger kilde]

Verdien ε = +1 til Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner er angitt ved      når indeksene opptrer som en positiv permutasjon av (1, 2, 3). Den motsatte verdien ε = −1 er angitt ved      og opptrer for negative permutasjoner.

Med tre indekser har symbolet 3! = 6 komponenter som er forskjellig fra null. De kan alle finnes fra ε123 = 1. Ved ombytte av indekser finner man da ε213 = -1 og ε231 = 1. De tre like komponentene ε123 = ε231 = ε312 = 1 fremkommer ved syklisk ombytte av indeksene (1,2,3) i positiv retning, mens de tre odde komponentene ε132 = ε321 = ε213 = -1 finnes ved det tilsvarende ombytte i motsatt retning.

Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner kan brukes til å forenkle mange beregninger i vektoralgebra.[2] Kryssproduktet av to vektorer u = (u1, u2, u3) og v = (v1, v2, v3) er antisymmetrisk og kan nå skrives på den kompakte formen

ved bruk av Einsteins summekonvensjon. Det skalare trippelproduktet mellom tre vektorer u, v and w blir dermed

Mer kompliserte vektorprodukt kan forenkles ved å bruke at

som følger fra det generelle produktet

For eksempel, det vektorielle trippelproduktet reduseres til

Resultatet er antisymmetrisk i vektorene v og w som det skal være.

På samme måte finner man for vektorproduktet av fire vektorer,

når man benytter at eiel = δil og summerer over alle like par med indekser. Tilsvarende forenklinger kan gjøres i vektoranalysen som involverer nabla-operatoren.

Fire dimensjoner[rediger | rediger kilde]

I et firedimensjonalt, euklidsk rom har Levi-Civita-symbolet 4! = 24 komponenter som ikke er null. De kan alle bestemmes fra konvensjonen ε1234 = 1. Men i dette tilfellet er ikke verdien uforandret under syklisk ombytte. For eksempel blir ε4321 = - ε3214 = - ε2134 = ε1234 = 1, mens ε4123 = - ε1234 = - 1.

Symbolet benyttes også i relativistisk fysikk som finner sted i et firedimensjonalt Minkowski-rom med koordinater xμ = (ct,x,y,z) hvor c er lyshastigheten og en diagonal metrikk med komponentene η00 = +1 og η11 = η22 = η33 = - 1. Sammen med de kontravariante komponentene ημν = (1, -1, -1, -1) kan den benyttes til å heve og senke indekser. Hvis man i dette Minkowski-rommet nå definerer ε0123 = + 1, vil dette Levi-Civitas-symbolet ha de kontravariante komponentene

som gir ε0123 = - 1 og på samme måte for alle andre komponenter med hevete indekser.

Herav kan man så utlede nyttige identiteter mellom produkter av symbolet. Av størst viktighet er

som ved kontraksjon mellom indeksene α og ρ gir

En videre kontraksjon mellom σ og β gir da som forventet

da i fire dimensjoner.

Dette Levi-Civita-symbolet opptrer også i relativistisk kvantemekanikk når man foretar beregninger som involverer Dirac-matrisene og

.

Når man regner ut trasen (eller «sporet») til et produkt av slike matriser, kan man da benytte at

Slike utregninger opptrer spesielt når partiklene som Dirac-ligningen beskriver, har retning på spinnet som er kjent eller skal måles.[4]

Levi-Civita-tensor[rediger | rediger kilde]

Determinanten til en N × N matrise A = (Aij) kan uttrykkes ved hjelp av Levi-Civita symbolet. Det betyr at man i alminnelighet har

Hvis man i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater xm  innfører krumlinjete koordinater ved koordinattransformasjonen xm = xm(xμ ), er elementene til transformasjonsmatrisen A

Levi-Civita-symbolet i dette mer mer generelle koordinatsystemet vil da måtte oppfylle ligningen[1]

Den viser at det transformerer som en fullstendig antisymmetrisk tensor av rang N under et slikt skifte av koordinater når man ser bort fra determinanten det(A) til transformasjonsmatrisen. Men den kan beregnes fra den nye metrikken

hvor metrikken i det kartesiske koordinatsystemet er gitt ved Kronecker-delta som gmn = δmn. Herav følger derfor at determinanten g = det(gμν)  er gitt som kvadratet av det(A). Definerer man derfor størrelsen

vil den transformere som en vanlig tensor. Dette er Levi-Civita-tensoren som er fullstendig antisymmetrisk i alle indeksene og med den spesielle verdien

i et generelt koordinatsystem hvor g er determinanten til metrikken for disse koordinatene.

Volumformen[rediger | rediger kilde]

Fra disse antisymmetriske tensorkomponentene kan man konstruere en differensiell N-form

som ofte blir omtalt som volumformen[5]. Det kan man se når man for eksempel benytter kulekoordinater i tre dimensjoner

Da blir denne 3-formen

og har størrelsen dV = r 2 sinθ dr dθ dφ  som er det vanlige volumelementet i dette koordinatsystemet.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill, New York (1988). ISBN 0-07-033484-6.
  2. ^ a b G.E. Hay, Vector and Tensor Analysis, Dover Publications, New York (1953). ISBN 0-486-60109-9.
  3. ^ P. Labelle, Supersymmetry demystified, McGraw-Hill, New York (2010). ISBN 978-0-07-163641-4.
  4. ^ C. Itzykson and J.B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill International Book Company, New York (1980). ISBN 0-07-032071-3.
  5. ^ C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.