Kubikktall

Rubiks kube ser ut til å inneholde kubikktallet 3³ = 27 mindre kuber.

Et kubikktall i aritmetikken er det positive heltallet som fremkommer ved å multiplisere et naturlig tall to ganger med seg selv. For eksempel kan man fra tallet 4 danne kubikkktallet 64 = 4⋅4⋅4. Man sier vanligvis at dette er «kuben av fire» eller «fire i tredje potens» med tanke på at det kan skrives som en matematisk potens 4³ = 64. De første kubikktallene er

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, ...

Kubikktallene er en klasse av figurtall som er forbundet med en geometrisk kube. Har denne en sidelengde n uttrykt i en bestemt måleenhet, kan den deles opp i n³  mindre kuber. Med bruk av samme måleenhet, ville dette også være volumet av kuben.

Da kuben er et av de fem platonske legemene, tilhører kubikktallene en større klasse av polyedertall i tre dimensjoner og er en direkte utvidelse av kvadrattallene i to dimensjoner.

Summasjon av kubikktall

Alle kvadrattall kan finnes som summer av oddetall fra ligningen

$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}$

Summen av de n første oddetallene er derfor lik med det n-te kvadrattallet. Det vises lett ved matematisk induksjon,

$1+3+5+\cdots +(2n-1)+(2n+1)=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$

som betyr at når formelen er riktig for n = 2, er den også gyldig for alle større n.

Helt fra antikken var det kjent at påfølgende delsummer av oddetall ville gi kubikktall. De enkleste eksemplene er

${\begin{aligned}1&=1^{3}\\3+5=8&=2^{3}\\7+9+11=27&=3^{3}\end{aligned}}$

og så videre. Herav følger at 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6² = 36. Disse sammenhengene knyttes spesielt til Nikomakhos og kan generelt skrives som

$a_{n}+(a_{n}+2)+\cdots +(a_{n}+2n-2)=n^{3}$

der a_n = n² - n + 1. Hvis nå alle disse likhetene adderes sammen, får man summen

$1+3+5+7+9+11+\cdots +(a_{n}+2n-2)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}$

Men nå er a_n + 2n - 2 = n² + n - 1 slik at man har resultatet

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}={\Big (}{n^{2}+n \over 2}{\Big )}^{2}$

når man benytter uttrykket for summen av odde tall. Denne klassiske formelen kan alternativt uttrykkes ved det n-te trekanttallet

$\Delta _{n}=1+2+3+\ldots +n={\frac {1}{2}}n(n+1)$

slik at summen av de n første kubikktallene er lik med kvadratet av dette tallet. Det betyr at formelen kan skrives som

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+3+\ldots +n)^{2}$

På denne formen omtales resultatet for summen av kubikktalene vanligvis som Nikomachos' formel.

Litteratur

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk III for realgymnaset, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
• A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.