Høyereordens deriverte av posisjon

Tidsderiverte av posisjon

I fysikken er tredje, fjerde, femte og sjette deriverte av posisjon definert som deriverte av posisjonsvektoren med hensyn på tid – med første- og andre-deriverte som henholdsvis hastighet og akselerasjon. De høyere ordens deriverte forekommer likevel, men navnene deres er ikke standardiserte. Foruten rykk for den tredje-deriverte, synes det ikke å forekomme standardiserte navn på norsk. ^{[trenger referanse]}

Tredje deriverte (rykk)

Rykk kan uttrykkes som den tidsderiverte av akselerasjon, andre tidsderiverte av hastighet, og tredje tidsderiverte av posisjon:

${\vec {\jmath }}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {a}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}(t)}{\mathrm {d} t^{3}}},$

hvor

${\vec {a}}$ er akselerasjon

${\vec {v}}$ er hastighet

${\vec {r}}$ er posisjon

$t$ er tid

Fjerde deriverte

Den fjerde deriverte av posisjonsvektoren med hensyn på tid, er endringsraten av rykket med hensyn på tid. Enheten har ingen kjent norsk oversettelse, men kalles på engelsk "Snap". Ekvivalent, er det andre deriverte av akselerasjon og tredje av hastighet, og er definert ved en av de følgende ligningene:

${\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.$

De følgende likningene er gyldige for konstant fjerde derivert:

${\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,$

${\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},$

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},$

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},$

hvor

${\vec {s}}$ er konstant fjerde derivert,

${\vec {\jmath }}_{0}$ er inititelt rykk,

${\vec {\jmath }}$ er endelig rykk ,

${\vec {a}}_{0}$ er initiell akselerasjon,

${\vec {a}}$ er endelig akselerasjon,

${\vec {v}}_{0}$ er initiell hastighet,

${\vec {v}}$ er endelig hastighet,

${\vec {r}}_{0}$ er initiell posisjon,

${\vec {r}}$ er endelig posisjon,

$t$ er tiden mellom initiell og endelig tilstand.

Notasjonen ${\vec {s}}$ (brukt av Visser) må ikke blandes med forskyvningsvektoren som bruker liknende notasjon.

Dimensjonaliteten er distanse per fjerde potens av tid. I SI enheter, er dette "meter per sekund i fjerde", m/s⁴, m⋅s⁻⁴.

Femte deriverte

Den femte deriverte av posisjonsvektoren med hensyn på tid. Enheten har ingen kjent norsk oversettelse, men kalles på engelsk "Crackle". Den femte deriverte av posisjonen er definert ved en av de følgende ekvivalente uttrykkene:

${\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}$

De følgende likningene er gyldige for konstant femte derivert:

${\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t$

${\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}$

${\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}$

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}$

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}$

hvor

${\vec {c}}$ : er konstant femte derivert,

${\vec {s}}_{0}$ : initiell fjerde derivert,

${\vec {s}}$ : endelig fjerde derivert,

${\vec {\jmath }}_{0}$ er inititelt rykk,

${\vec {\jmath }}$ er endelig rykk ,

${\vec {a}}_{0}$ er initiell akselerasjon,

${\vec {a}}$ er endelig akselerasjon,

${\vec {v}}_{0}$ er initiell hastighet,

${\vec {v}}$ er endelig hastighet,

${\vec {r}}_{0}$ er initiell posisjon,

${\vec {r}}$ er endelig posisjon,

$t$ er tiden mellom initiell og endelig tilstand.

Dimensjonaliteten er distanse per femte potens av tid. I SI enheter, er dette "meter per sekund i femte", m/s⁵, m⋅s⁻⁵.

Sjette deriverte

Den sjette deriverte av posisjonsvektoren med hensyn på tid. Enheten har ingen kjent norsk oversettelse, men kalles på engelsk "Pop". Den sjette deriverte av posisjonen er definert ved en av de følgende ekvivalente uttrykkene:

${\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}$

De følgende likningene er gyldige for konstant sjette derivert:

${\vec {c}}={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t$

${\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}$

${\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}$

${\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}$

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}$

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\frac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}$

hvor

${\vec {p}}$ : er konstant sjette derivert,

${\vec {c}}_{0}$ : initiell femte derivert,

${\vec {c}}$ : endelig femte derivert,

${\vec {s}}_{0}$ : initiell fjerde derivert,

${\vec {s}}$ : endelig fjerde derivert,

${\vec {\jmath }}_{0}$ er inititelt rykk,

${\vec {\jmath }}$ er endelig rykk ,

${\vec {a}}_{0}$ er initiell akselerasjon,

${\vec {a}}$ er endelig akselerasjon,

${\vec {v}}_{0}$ er initiell hastighet,

${\vec {v}}$ er endelig hastighet,

${\vec {r}}_{0}$ er initiell posisjon,

${\vec {r}}$ er endelig posisjon,

$t$ er tiden mellom initiell og endelig tilstand.

Dimensjonaliteten er distanse per sjette potens av tid LT⁻⁶(. I SI enheter, er dette "meter per sekund i sjette", m/s⁶, m⋅s⁻⁶.

Eksterne lenker

Wiktionary: jounce – ordbokoppføring

• Cosmography: cosmology without the Einstein equations, Matt Visser, School of Mathematics, Statistics and Computer Science, Victoria University of Wellington, 2004.