Gruppeteori

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Klassifisering av åtte baryoner i en 8-representasjon av Lie-gruppen SU(3).

Gruppeteori er en gren innenfor matematikk som omhandler den algebraiske struktur til grupper. Teorien er av stor betydning på samme måte som beskrivelsen av egenskapene til ringer, tallkropper og andre strukturer. I tillegg er gruppeteori viktig i fysikk og da spesielt innen kvantemekanikken og elementærpartikkelfysikken. Her er de direkte forbundet med symmetrien til slike fysiske systemer. Det gjelder også de mulige krystallstrukturene som lar seg bestemme ut fra egenskapene til diskrete grupper. Spesiell og generell relativitetsteori er basert på egenskaper til Lorentz-gruppa som uttrykker fundamentale egenskaper ved tidrommet.

Alle grupper kan deles opp i to hovedklasser. Den ene inneholder diskrete grupper, som har element som er tellbare. Den andre klassen består av Lie-grupper hvor elementene er kontinuerlig forbundet med hverandre. Gruppeteorien for begge klasser har i stor grad bestått i å skape en systematisk oversikt over hvilke grupper som finnes og etablering av deres egenskaper.

Moderne gruppeteori kan føres tilbake til Niels Henrik Abel og Évariste Galois da de på begynnelsen av 1800-tallet fant kriteriene for løsning av polynomligninger. Augustin Cauchy utviklet gruppeteorien for permutasjoner som Arthur Cayley videreførte dette til mer abstrakte grupper. Noen tiår senere etablerte Sophus Lie teorien for kontinuerlige grupper ved å undersøke transformasjoner av funksjoner. Omtrent samtidig kom Ludvig Sylow frem til detaljerte egenskaper ved diskrete grupper. Felix Klein benyttet denne nye innsikten til å gi en mer fundamental beskrivelse av mulige geometrier i sitt Erlangen-program. Teorien for Lie-gruppene ble ferdig etablert av Élie Cartan. Den var avgjørende for Murray Gell-Manns klassifikasjon av elementærpartikler i 1961, noe som ga ham nobelprisen i fysikk.

Definisjoner[rediger | rediger kilde]

En gruppe består av en visse mengde elementer {a, b, ...} som man kan kombinere to og to. Denne binære operasjonen kan betegnes med symbolet × som tilsvarer en vanlig multiplikasjon av tall. Kombinasjonen kalles derfor også ofte for et produkt.[1]

Grunnleggende antagelse er at når to element a og b kombineres på denne måten, skal resultatet a × b være et element i samme mengde. I tillegg skal operasjonen oppfylle følgende tre krav:

  1. Kombinasjonen er assosiativ slik at (a × b) × c = a × (b × c)
  2. Det finnes et enhetselement e med den egenskap at e × a = a × e = a
  3. Hvert element a har en invers a-1 som oppfyller a × a-1 = a-1 × a = e

Disse tre antagelsene gjelder for alle grupper, både de diskrete og de kontinuerlige. Hvis kombinasjonen av to gruppeelement oppfyller den kommutative loven slik at a × b = b × a, har man med en abelsk gruppe å gjøre. Navnet går tilbake til Abel som viste at når røttene til en polynomligning kan beregnes ved de vanlige regningsartene kombinert med enkle rotutdragninger, har de en symmetri som tilsvarer en kommutativ gruppe.[2]

Antall element i gruppen kalles dens orden. Er dens navn G, skrives dette vanligvis som |G |. Det tilsvarer kardinaliteten til mengden av gruppeelement.

Enkle eksempel[rediger | rediger kilde]

Mengden Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } av heltall danner en uendelig, diskret gruppe hvor binæroperasjonen er vanlig addisjon. Enhetselementet er tallet 0, og den inverse til tallet n er -n. Gruppen er abelsk da n + m = m + n. Likedan danner partallene 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ... } en gruppe under den samme kombinasjonen og med det samme enhetselementet. De utgjør en undergruppe under gruppen Z. Dette er også en syklisk gruppe hvor hvert element er tallet 2 multiplisert med et heltall. Man sier derfor at dette tallet genererer gruppen og skriver det som 2Z = < 2 >. Generelt er nZ = < n > en syklisk undergruppe av Z generert av det naturlige tallet n. Derimot danner ikke oddetallene noen gruppe da summen av to slike tall er et partall.[3]

De rasjonelle tallene Q danner også en uendelig, diskret gruppe hvor binæroperasjonen er vanlig multiplikasjon. Hvert tall har da formen m/n hvor m og n er heltall forskjellig fra 0. Enhetselementet er e = 1 slik at den inverse til m/n er ganske enkelt n/m.

Den minste, ikke-trivielle gruppen har bare to element {e, g). Da må g × g = e som vanligvis skrives mer kompakt som g 2 = e. Elementet g har derfor en invers som er g selv, det vil si g -1 = g. Denne gruppen av andre orden betegnes normalt som Z2 eller C2 da den er syklisk. Ved en isomorfi kan den avbildes på de to tallene 0 og 1 der e → 0 og g → 1. Elementene kombineres da med binær addisjon slik at 1 + 1 = 0 tilsvarer g 2 = e.

Lagranges teorem og faktorgrupper[rediger | rediger kilde]

Kombinasjonen av to element i en undergruppe H av en annen gruppe G gir alltid et element i samme undergruppe H. Det betyr at hvis man multipliserer hvert element i H med et et annet element g i G som ikke tilhører H, vil denne multiplikasjonen gi en mengde gH med forskjellige element som heller ikke tilhører undergruppen. Denne mengden kalles en restklasse eller kosett til delgruppen H.[2]

Slik kan man fortsette. Ved neste multiplikasjon med et utenforstående element g' , vil resultatet enten kunne inngå i den etablerte restklassen gH eller så må man opprette en ny restklasse g'H. Etter å ha kombinert H med alle elementene i G, vil man dermed ha fordelt disse over et visst antall forskjellige restklasser. Hvis G inneholder n og H inneholder m element , vil man derfor ha

hvor k er et naturlig tall som angir antall restklasser. Det kalles indeksen til undergruppen H i G. Samtidig vil derfor også orden m til undergruppen H være en faktor i tallet n som er orden til gruppen G den tilhører. Dette viktige resultatet omtales vanligvis som Lagranges teorem og er oppkalt etter den franske matematiker Joseph Lagrange. På slutten av 1700-tallet gjorde han det første, systematiske forsøk på å løse femtegradsligningen på et tidspunkt der formell gruppeteori ennå ikke var etablert.[4]

Teoremet til Lagrange har den viktige konsekvens at grupper G hvis orden n = |G | er et primtall, har ingen ikke-trivielle undergrupper. Hvert element g i gruppen kan benyttes til å generere hele gruppen slik at man kan skrive G = < g > der gn = e er enhetselementet. Man sier derfor også at hvert element i gruppen har orden n. Slike grupper er alltid sykliske. Orden til et element sies mer generelt å være antall ganger det må multipliseres med seg selv for å gi enhetselementet.[3]

Faktorgrupper[rediger | rediger kilde]

Faktorgruppen G = Z/8Z har åtte element der 0 og 4 utgjør en invariant undergruppe H. Elementene til G kan dermed inndeles i fire restklasser som utgjør en ny faktorgruppe G/H med 8/2 = 4 element.

To element a og b som tilhører samme restklasse gH sies å være ekvivalente. Denne ekvivalensrelasjonen kunne også være basert på restplasser Hg hvor multiplikasjonen skjer fra høyre. Det vil generelt gi en annen fordeling i restklasser. Men når inndelingen er uavhengig av om multiplikasjonen gjøres fra høyre eller venstre slik at gH = Hg, vil restklassene få en ny, matematisk struktur. Betingelsen for det kan skrives som

og betyr at H er en normal eller invariant undergruppe i G. Da kan de ekvivalente elementene i hver restklasse betraktes som et element i en ny struktur. Produktet mellom to restklasser aH og bH kan da formelt skrives som

og er en kombinasjon av restklasser som gir dem en gruppestruktur. Den kalles faktorgruppen G over H og betegnes som G/H. Restklassen som består av elementene i den normale undergruppen H, er enhetslementet i denne faktorgruppen. På samme måte har elementet aH en invers som er restklassen Ha-1.

Det er viktig at denne binæroperasjonen mellom restklasser er entydig og uavhengig av hvilke representanter i hver slik klasse man velger å benytte. Velger man for eksempel å benytte elementet h1 i H for restklassen aH og tilsvarende h2 for bH, vil produktet (aH)(bH) = (ab)H tilsvare multiplikasjonen

Her er det avgjørende at H er en invariant undergruppe slik at man kan skrive h1b = b h3 hvor også h3 tilhører denne undergruppen. Hvis n er orden til G og m den til H, så har G/H orden n/m. Faktorgruppen har derfor en orden som er lik undergruppens indeks i modergruppen.[1]

Faktorgrupper ble først oppdaget og benyttet av Évariste Galois da han fant kriteriene som måtte oppfylles for å kunne løse femtegradsligningen og andre polynomligninger av høyere rad ved algebraiske metoder. De har en meget viktig rolle i gruppeteori og mer generelt i moderne matematikk.[2]

Noen eksempel[rediger | rediger kilde]

Heltallene Z danner en uendelig, diskret og abelsk gruppe under addisjon. På samme måte utgjør også delmengden nZ en uendelig undergruppe der n er et naturlig tall. Dette utgjør også en normal undergruppe da modergruppen Z er abelsk. Man kan nå dele alle heltallene opp i n restklasser hvor to og to restplasser kan kombineres ved addisjon. For eksempel, når n = 3 får man de tre restklassene 3Z, 3Z + 1 og 3Z + 2, mens klassen 3Z + 3 er den samme som 3Z. Som representanter for disse tre restklassene kan man benytte tallene 0, 1 og 2. De utgjør elementene i faktorgruppen Z/3Z som derfor har orden 3. Deres kombinasjon skjer ved modulær addisjon, det vil si i dette tilfellet modulo 3. Den inverse til elementet 1 er 2 og omvendt.

Generelt har faktorgruppen Z/nZ ialt n element som kombineres additivt modulo n og og benevnes ofte som Zn. Den kan igjen ha sine undergrupper. For eksempel, faktorgruppen G = Z/8Z har 8 element som kan representeres ved {0,1,2,3,4,5,6,7} hvor elementene 0 og 4 utgjør en invariant undergruppe H av andre orden. Alle elementene kan dermed deles opp i de fire restklassene H = {0, 4}, H + 1 = {1, 5}, H + 2 = {2, 6} og H + 3 = {3, 7}. De utgjør elementene i faktorgruppen G/H som har orden 8/2 = 4 som er indeksen til H  i G.

Zn = Z/nZ er alltid en syklisk gruppe der elementene kombineres ved modulær addisjon og enhetselementet er restklassen som inneholder 0. Men samtidig utgjør disse restklassene en matematisk ring hvor man også kan kombinere elementene ved modulær multiplikasjon.[5] I det spesielle tilfellet at n er et primtall p, har da hvert element i ringen Z/pZ bortsett fra restklassen som inneholder 0, også en multiplikativ invers. Disse p - 1 restklassene danner dermed en abelsk gruppe under multiplikasjon som vanligvis angis ved (Z/pZ)* eller Z*p. Den inngår i ringen Zp = Z/pZ som da utgjør en endelig tallkropp som også kalles for en Galois-kropp og betegnes med Fp eller GF(p).

Homomorf avbildning[rediger | rediger kilde]

Diagram for en homomorf avbilding φ på faktorgruppen G/N der N = Ker φ er kjernen til avbildningen.

Elementene i en faktorgruppen G/H er restklasser som generelt inneholder flere element av modergruppen G. Hvert element i G blir dermed knyttet til en bestemt restklasse, det vil si til et element i faktorgruppen. Dette er derfor i alminnelighet en homomorfisk avbildning fra G til H.

På lignende måte kan en gruppe G avbildes homomorft på en annen gruppe G' . Det finnes da en funksjon φ som for hvert element g i G gir et element g'  i G'  slik at g'  = φ(g). Det homomorfe bildet av G i G'  kan da skrives som φ(G) eller Im φ der forkortelsen Im står for det engelske ordet Image.[5]

Et enkelt eksempel er avbildningen fra heltallene Z = G til tierpotensene G'  = {.., 10-2, 10-1, 1, 101, 102, ... }. Disse utgjør en abelsk gruppe under vanlig multiplikasjon med 1 som enhetselement. Avbildningen φ(n) = 10n der enhetselementet e = 0 i G avbildes på enhetselementet e'  = 1 i G'  slik at 10n + m = 10n10m. Siden hvert element i G'  er bildet av kun ett element i G, er dette en isomorfi.

Kjernen til homomorfien[rediger | rediger kilde]

Definisjonen av en homomorfi sier at den må oppfylle φ(ab) = φ(a)φ(b) der a og b er gruppeelement i G. Den inneholder ett eller flere element som blir avbildet på enhetselementet e'  i G' . Mengden N av slike element utgjør en undergruppe i G som kalles avbildningens kjerne. Det skrives som N = Ker φ der forkortelsen Ker kommer fra det tyske ordet Kern for kjerne. At det er en undergruppe, vises ved å kombinere to element a og b som begge ligger i kjernen N. Da er bildet av deres produktet φ(ab) = e' e'  = e'  slik at det også ligger i kjernen.[5]

Kjernen N er også en invariant undergruppe. Det følger fra å betrakte et element a i N og et vilkårlig element g i G. Da blir

Da elementet a kunne være hvilket som helst element i N, har man derfor generelt at g N g -1 = N som viser at kjernen er invariant. Bildet av avbildningen φ er derfor faktorgruppen H = G/N. Mer abstrakt kan det skrives som

som eksplisitt uttrykker at kjernen til avbildningen er en normal undergruppe. Dette resultatet kalles vanligvis for den fundamentale setningen for homomorfier.[3]

Oppløsbare grupper[rediger | rediger kilde]

Studiet av matematiske strukturer består ofte å dele de opp i sine enkelte bestanddeler. På den måten kan et heltall faktoriseres i enkelte primtall og et polynom skrives som et produkt av irreduktible polynom av lavere grad. En lignende oppdeling av en gruppe kan også gjøres.

En gruppe som ikke inneholder noen invariante undergrupper, kan ikke avbildes på en faktorgruppe og dermed gis en finere struktur i dens oppbygning. Dette sies da å være en enkel gruppe som tilsvarer et primtall blant heltallene. Et eksempel er en syklisk gruppe Zp hvis orden p er et primtall.[5]

Hvis en gruppe G ikke er enkel, har den en invariant undergruppe H. Man kan derav danne faktorgruppen G/H og får kjeden GHH0 hvor gruppen H0 består bare av enhetselementet e. Denne oppdelingen kan gjøres finere når H også inneholder en invariant undergruppe. Man får dermed en lengre kjede

hvor Hk-1 er en normal undergruppe i Hk. Gruppen G sies å være oppløsbar når alle faktorgruppene Hk/Hk-1 er enkle grupper.[5]

Et enkelt eksempel kan vises for den sykliske gruppen Z12. Den har Z6 som en invariant undergruppe, og man kan danne kjeden

hvor Z1 bare består av enhetselementet. De tilsvarende faktorgruppene har dermed orden 2, 2 og 3 som alle er oddetall og er derfor enkle grupper. Gruppen Z12 er derfor oppløsbar.

Begrepet oppløsbar i denne sammenhengen går tilbake til Galois som viste at hver polynomligning kan tilordnes en matematisk Galois-gruppe. Når denne er oppløsbar på denne måten, er den tilsvarende ligningen algebraisk løsbar. Da Galois-gruppen for polynom med grad n ≥ 5 i alminnelighet er permutasjonsgruppen Sn som ikke er oppløsbar, vil femtegradsligningen og andre polynomligninger av høyere grad ikke være generelt løsbare.[4]

Direkte produkt[rediger | rediger kilde]

Fra to grupper G1  og G2  kan man danne en større gruppe som man kaller det direkte produktet G = G1 G2  av de to gruppene. Hvert element i denne er definert som g = (g1, g2 ) hvor g1  tilhører G1  og g2  tilhører G2 . Det direkte produktet sies derfor noen ganger å være kartesisk da det har samme form som de kartesiske koordinatene (x, y) for et punkt i planet som formelt består av mengden RR med par av reelle tall.[2]

Hvis de to gruppene har enhetselement e1  og e2, er enhetselementet i produktgruppen e = (e1, e2).To element g og g'  er definert å kombinere ved regelen

som gir et nytt element i produktgruppen. Elementet g = (g1, g2 ) har som invers

slik at gg-1 = (e1, e2) = e. Dermed oppfyller G = G1 G2  de tre kravene til å være en gruppe.

Når G1  inneholder n1  element og G2  inneholder n2 , vil produktgruppen inneholde n1n2  element. Det er derfor dens orden. Det direkte produktet kan utvides på tilsvarende måte slik at det kombinerer et vilkårlig antall grupper.[1]

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Den sykliske gruppen Z2 består av elementene {0, 1} som kombineres ved addisjon modulo 2, mens Z3 består av elementene {0, 1, 2} som kombineres på samme måte modulo 3. Produktet Z2Z3  består da av de seks elementene {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}. Ved direkte utregning kan man nå vise at denne nye gruppen også er syklisk. Den kan for eksempel genereres av elementet (1,1). Da er (1,1)2 = (0, 2), (1,1)3 = (1, 0) og så videre til (1,1)6 = (0, 0). Det direkte produktet er derfor den sykliske gruppen < (1,1) > som er isomorf med Z6 = Z2Z3 .

I alminnelighet er isomorfien ZmZn = Zmn bare gyldig når m og n er relativt primiske som 2 og 3 er.[3] For eksempel består Z2Z2  av de fire elementene {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. De kan ikke genereres av et enkelt element og utgjør derfor ikke en syklisk gruppe. Men de to elementene r = (0, 1) og s = (1, 0) gjør det da r 2 = s 2 = (0, 0) = e og rs = sr = (1, 1). Dette definerer den dihedrale gruppen D2 som er isomorf med Kleins firergruppe slik at den kan skrives som V4 = Z2Z2.

Dette siste resultatet kan generaliseres til det tilfellet at en gruppe G inneholder to undergrupper H1  og H2  hvis element kommuterer med hverandre og som kun har enhetselementet til G felles. Hvis alle elementene i G da kan skrives som H1 H2 , sier man at direkteproduktet er internt da det involverer undergrupper i samme gruppe.[6]

Permutasjonsgrupper[rediger | rediger kilde]

Cayley-tabell for permutasjonsgruppen S4 med 4! = 24 element. Ytterst kan de tilsvarende permutasjonsmatrisene sees.

Hvis man har n forskjellige objekt, så kan de arrangeres på n ! forskjellige måter når man benytter den vanlige notasjonen for fakultetsfunksjonen. For eksempel, hvis disse objektene er tallene {1, 2, 3}, så kan de arrangereres i 3! = 6 forskjellige rekkefølger 123, 132, 213, 231, 312 og 321. Hver av dem er en permutasjon av den opprinnelige rekkefølgen 123. En slik permutasjon kan betraktes som en abstrakt transformasjon. Tilsammen utgjør disse operasjonene en transformasjonsgruppe som i denne sammenhengen naturlig nok kalles en permutasjonsgruppe eller en symmetrisk gruppe. Når den virker på n objekt, betegnes den som Sn. Den er av orden n ! da hvert gruppeelement tilsvarer en permutasjon. Disse gruppene var de første som ble studert.[4]

Den detaljerte virkning av hvert gruppelement blir vanligvis fremstilt ved en notasjon med to linjer som går tilbake til Cauchy. I øverste linje inngår den opprinnelige rekkefølgen og i den underliggende linje skrives den permuterte rekkefølgen. Med for eksempel de fire tallene {1, 2, 3, 4} vil et typisk gruppeelement da skrives som

som beskriver transformasjonen 1 → σ(1) = 4, 2 → σ(2) = 1, 3 → σ(3) = 3 og 4 → σ(4) = 2. Tallet 3 forblir på sin plass, mens 1 → 4 → 2 → 1 på en syklisk måte. Denne permutasjonen kan derfor skrives som en sykel σ = (1, 4, 2) da det er vanlig å ignorere 1-sykler som (3) siden de ikke betyr noen forandring. Hver permutasjon kan på denne måten skrives som et produkt av sykler.[6]

Kombinasjonsregler[rediger | rediger kilde]

For at de forskjellige permutasjonene skal kunne utgjøre en matematisk gruppe, må de tre reglene for kombinasjon av element oppfylles. Enhetselementet betyr ingen forandring i det hele tatt og med fire objekt er det

En permutasjon σ etterfulgt av en permutasjon τ kan man skrive som τσ når den virker på objektene som antas å befinne seg på høyre side. For eksempel med fire objekt der τ er gitt ved sykelen τ = (1, 2, 3, 4) og σ = (1, 4, 2), vil effekten av produktet τσ være at 1 → 4 fra σ hvor 4 → 1 fra τ. Skrives dette som 1 → 4 → 1, får man videre på samme måte at 2 → 1 → 2, 3 → 4 → 3 og 4 → 2 → 3. Tallene 1 og 2 forblir derfor uforandret, mens 3 og 4 byttes om. Dermed har man at τσ = (1, 2, 3, 4)(1, 4, 2) = (3, 4).

Ved å bruke den mer fullstendige notasjonen kommer man frem til samme resultat ved å benytte at

slik at den øverste linjen i Cauchy-symbolet for τ blir lik den nederste i symbolet for σ. Produktet gir dermed det ønskede resultatet

når den øverste linjen i τ  forkortes mot den nederste linjen i σ. På denne formen ser man eksplisitt at 1 og 2 forblir på plass, mens 3 og 4 byttes om.

Cauchy-symbolet for det inverse elementet σ -1 til en permutasjon σ som må oppfylle betingelsen σσ -1 = ε, finnes ved å bytte om øverste og nederste linje i symbolet for σ. Hvis dette gruppeelementet er som over, har man derfor at

Uttrykt ved sykler er derfor (1, 4, 2) -1 = (2, 4, 1). Dette er et eksempel på et mer generelt resultat som sier at den inverse av en sykel er elementene i sykelen tatt i motsatt rekkefølge.[6]

Alternerende gruppe[rediger | rediger kilde]

Enhver permutasjonssykel (a, b, c, ... , x) kan reduseres til produktet av en transposisjon eller ombytte av to element multiplisert med en sykel som er ett element kortere. Dette følger fra regelen

Sykelen på høyre side bevirker at xb som transposisjonen foran forandrer til a og dermed gir nettoresultatet xa som man ønsker. På denne måten kan hver sykel og dermed hver permutasjon skrives som et produkt av transposisjoner. For eksempel er (1, 2, 3) = (1, 2)(2, 3) som også viser det mer generelle resultatet at en sykel med k element kan skrives som et produkt av k - 1 transposisjoner.[3]

De seks elementene i den symmetriske gruppen S3 kan nå skrives som

Mens de tre første gruppeelementene ρ0, ρ1 og ρ2 består av null eller to transposisjoner, inneholder de tre siste elementene σ0, σ1 og σ2 bare en sådan. De tre første elementene utgjør også en undergruppe da ρ12 = ρ2 og ρ13 = ρ0 som er enhetselementet ε i gruppen. Dette er ikke noe annet enn den sykliske gruppen C3 = Z3. Videre utgjør {ε, (1, 2)}, {ε, (2, 3)} og {ε, (1, 3)} tre andre undergrupper isomorfe med C2.

Generelt utgjør de permutasjonene i den symmetriske gruppen Sn som inneholder et like antall transposisjoner, en invariant undergruppe som kalles den alternerende gruppen An. Den er invariant da den utgjør kjernen til den homoforme avbildningen Sn → {1, -1} hvor de like permutasjonene avbildes på enhetselementet 1. Lagranges teorem sier da at den alternerende gruppen har orden |An | = |Sn |/2 = n !/2. Det er derfor like mange odde som like permutasjoner i den fulle permutasjonsgruppen Sn.

Mens den alternerende gruppen A3 inneholder tre element og er isomorf med C3, inneholder A4 tolv element. Den er ikke-abelsk da for eksempel (1, 2, 3)(4) ikke kommuterer med (1, 2)(3, 4). Men den inneholder en invariant undergruppe som er Kleins firergruppe V4 bestående av elementene {ε, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}. Faktorgruppen A4/V4 har derfor orden 3 og er enkel. Dette gjør at både S4 og A4 er oppløsbare grupper som forklarer at fjerdegradsligningen kan løses algebraisk. Derimot for femtegradsligningen er Galois-gruppen den symmetriske gruppen S5 som ikke er oppløsbar da den alternerende gruppen A5 ikke inneholder noen invariant undergruppe. Det samme gjelder for permutasjonsgruppen Sn med n > 5 slik at den tilsvarende polynomligningen ikke kan løses.[2]

Cayleys teorem[rediger | rediger kilde]

Frem til midten av1800-tallet hadde egenskapene til permutasjonsgrupper i stor grad blitt utforsket. Da Arthur Cayley på den tiden begynte å undersøke mer abstrakte grupper basert kun på et fåtall av antagelser, kunne det se ut til at det ville finnes diskrete grupper som ikke hadde sin gjenpart blant permutasjonsgruppene. Men et av hans første og viktigste resultat var å vise at en diskret gruppe av orden n er isomorf med en undergruppe til permutasjonsgruppen for like mange objekt.[3]

En slik gruppe består av n element samlet i mengden G = {g1, g0, ... , gn} som kan kombineres ved vanlige grupperegler. Betrakter man et bestemt element g i denne mengden, kan man multiplisere dette med alle elementene i G. Det resulter i samme mengde, men med elementene i en permutert rekkefølge eller ordning. Man kan derfor tilordne dette elementet g en bestemt permutasjon

Produktet av to slike operasjoner gir dermed opphav til den kombinerte permutasjonen

når man benytter regelen for multiplikasjon av Cauchy-symbol. Man har dermed at σ(g)σ(g' ) = σ(g g' ) slik at sammenhengen gσ(g) er en isomorf avbildning av gruppen G inn i permutasjonsgruppen Sn.

Som et eksempel kan man betrakte den dihedrale gruppen D3. Den har seks element hvorav tre er rotasjonselementene som kan kalles i, a og b med a 3 = b 3 = i  som er enhetselementet. Tilsvarende er de tre speilingselementene c, d og e med c 2 = d 2 = e 2 = i. Disse kan nå representeres ved permutasjoner som kan leses direkte ut av de horisontale radene i gruppens Cayley-tabell. Det gir

Herav går det frem at de to elementene a og b som begge er av orden 3, representeres ved permutasjoner som er produkt av 3-sykler. På samme måtenrepresenteres elementene c, d og e som er av andre orden, ved permutasjon som er produkt av 2-sykler. Dette kan vises å være generelt gyldig for et vilkårlig element av en viss orden i en diskret gruppe.[6]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b c S. Christofferson, Grupper, Ringar, Kroppar, LiberLäromedel, Lund (1975). ISBN 91-40-03485-2.
  2. ^ a b c d e J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid: En introduksjon, Universitetsforlaget, Oslo (1967).
  3. ^ a b c d e f J.B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1976).
  4. ^ a b c I. Stewart, Galois Theory, CRC Press, Boca Raton FL (2015). ISBN 978-1-4822-4582-0.
  5. ^ a b c d e S. MacLane and G. Birkhoff, Algebra, MacMillan Publishing Co., New York (1979). ISBN 0-02-978830-7.
  6. ^ a b c d W. Ledermann, Introduction to the Theory of Finite Groups, Oliver & Boyd, London (1961).

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]