Gaussisk målesystem

Gaussisk målesystem er et enhetssystem basert på de mekaniske enhetene i CGS-systemet, men som også kan benyttes for elektriske og magnetiske størrelser. Det har fått sitt navn fra den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss som på 1830-tallet i forbindelse med en kartlegging av Jordens magnetfelt viste hvordan dets størrelse kunne uttrykkes ved hjelp av enheter for masse, tid og lengde. På denne måten utviklet Gauss et elektromagnetisk enhetssystem basert på magnetiske krefter og noe senere sammen med sin medarbeider Wilhelm Eduard Weber et elektrostatisk enhetssystem basert på elektriske krefter.

Det gaussiske systemet er en kombinasjon av disse to målesystemene og ble lansert av Heinrich Hertz og Hermann von Helmholtz på slutten av 1880-tallet etter at riktigheten av Maxwells ligninger var eksperimentelt bevist. Systemet fikk etterhvert stor utbredelse og var det dominerende enhetssystemet i utviklingen av moderne fysikk som kvantemekanikk og relativitetsteori. I dag har det i stor grad blitt erstattet av SI-systemet selv om det fremdeles delvis benyttes i forskjellige grener av teoretisk fysikk og astrofysikk.

Matematiske formler som beskriver elektromagnetiske fenomen, vil ha forskjellige former i det gaussiske systemet sammenlignet med hvordan de skrives i SI-systemet. Det skyldes at de er basert på enheter som er definert på forskjellig vis. En fordel med det gaussiske systemet er at elektriske og magnetiske felt har samme dimensjon. Ifølge den spesielle relativitetsteori er dette naturlig da de begge er komponenter av samme felttensor. Men det betyr også at Maxwells ligninger vil bli noe mer kompliserte da de vil eksplisitt inneholde lyshastigheten c. De vil også inneholde faktoren 4π flere steder, noe som ikke er tilfelle i det «rasjonaliserte» Gauss-systemet som kalles Heaviside-Lorentz-systemet. På lignende måte vil heller ikke lyshastigheten eksplisitt opptre hvis man benytter naturlige enheter for tid og lengde.

Måleenheter[rediger | rediger kilde]

I tillegg til at Heinrich Hertz på slutten av 1880-tallet eksperimentelt påviste eksistensen av elektromagnetiske bølger, formulerte han også Maxwells ligninger på en ny og mer generell måte. Han valgte da å benytte måleenheter for de elektromagnetiske feltene E og B som ga dem samme dimensjon. Noen få år tidligere hadde Hermann von Helmholtz argumentert for det samme. Dette nye enhetssystemet var basert på tidligere måleenheter som Carl Friedrich Gauss hadde innført og det fikk derfor hans navn knyttet til seg.^[1]

Elektriske størrelser er definerte i det elektrostatiske målesystemet. Kraften mellom to ladninger Q og Q' er gitt ved Coulombs lov som da har formen

F={QQ' \over r^{2}}

Ved å bruke CGS-enhetene centimeter cm, gram g og sekund s for henholdsvis lengde, masse og tid, er enheten for elektrisk ladning definert ved at kraften mellom to slike ladninger med en gjensidig avstand r = 1 cm, skal være 1 dyn. Denne nye enheten kalles én «stat-coulomb» og kan betegnes som 1 stC. Formelt er derfor

1\,{\text{stC}}=1\,{\text{dyn}}^{1/2}\,{\text{cm}}

Én vanlig coulomb C tilsvarer tilnærmet 3.0×10⁹ slike stC. Herav kan også enheten for elektrisk strøm utledes. Den omtales som «stat-ampere» definert som 1 stA = 1 stC/s og er en tilsvarende liten strøm sammenlignet med en vanlig ampere (A) som opptrer i praktiske sammenhenger.^[2].

Elektrisk felt[rediger | rediger kilde]

Kraften F mellom to ladninger kan skrives som F = QE hvor E = Q' /r² er det elektriske feltet skapt av den andre ladningen. Dimensjonen til dette feltet er derfor

[E]={\mbox{stC}}/{\mbox{cm}}^{2}={\mbox{dyn}}^{1/2}/{\mbox{cm}}

Den tilsvarende enheten kalles gauss (G) og er den samme som benyttes for magnetiske felt i det elektromagnetiske enhetssystemet. Selv om det ble innført av Gauss på 1830-tallet, fikk ikke denne enheten hans navn før i 1900.^[3]

Dimensjonen til kvadratet av det elektriske feltet er

[E^{2}]={\mbox{dyn}}/{\mbox{cm}}^{2}={\mbox{erg}}/{\mbox{cm}}^{3}

hvor 1 erg = 1 dyn⋅cm er enheten for energi i CGS-systemet. Dette er i overensstemmelse med at energitettheten i feltet er proporsjonal med E² i det gaussiske systemet. Det gjelder også for energitettheten i et magnetfelt da de to feltene har samme dimensjon i dette målesystemet.

Magnetisk felt[rediger | rediger kilde]

Den magnetiske kraften mellom strømførende ledere er gitt ved Ampères kraftlov. For to parallelle ledninger som fører henholdsvis strømmene I og I' er denne kraften per lengdeenhet langs ledningene gitt i det samme elektrostatiske systemet som

F'={2 \over c^{2}}{II' \over r}

der r er avstanden mellom dem og c er lyshastigheten.^[2] Dette uttrykket kan skrives som kraften på strømmen I i magnetfeltet B skapt av strømmen I' i tråd med Biot-Savarts lov. For at B skal ha samme dimensjon som et elektrisk felt, må man derfor ha F' = IB/c hvor

B={2I' \over cr}

er magnetfeltet i avstand r fra en rett leder som fører strømmen I' skrevet i gaussiske enheter.

Dette kravet at feltene E og B skal ha samme dimensjon, vil også medføre at andre matematiske formler som omhandler magnetiske størrelser, vil kunne få ekstra faktorer som involverer lyshastigheten. For eksempel vil Lorentz-kraften på en partikkel med ladning q og som beveger seg med hastighet v i slike felt, ta formen

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +{\mathbf {v}  \over c}\times \mathbf {B} )

I det gaussiske målesystemet.^[4]

Maxwells ligninger[rediger | rediger kilde]

I nyere tid blir Maxwells ligninger vanligvis skrevet i SI-systemet. Ved bruk av gaussiske enheter vil de ta en litt annen form. Det kan man se allerede fra formuleringen av Coulombs lov i dette systemet. Denne er ekvivalent med den mer generelle Gauss' lov som da blir

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} =4\pi \rho

for en generell ladningstetthet ρ som befinner seg i det tomme rom. Dette er den første av de fire Maxwell-ligningene.

Den andre er Faradays induksjonslov

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

hvor faktoren 1/c opptrer fordi E og B har samme dimensjon i dette systemet. Da det ikke finnes magnetiske ladninger, er den tredje Maxwell-ligningen ∇⋅B = 0 uforandret.

På lignende måte som elektriske felt skapes av elektriske ladninger, skapes magnetfelt av elektriske strømmer ifølge Ampères sirkulasjonslov. For en generell strømtetthet J i det tomme rom vil denne nå ha formen

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} ={4\pi  \over c}\mathbf {J} +{1 \over c}{\partial \mathbf {E}  \over \partial t}

Mens første ledd på høyre side skaper feltet B = 2I /cr i avstand r fra en rett ledningen som fører strømmen I, beskriver det andre leddet Maxwells forskyvningsstrøm i disse enhetene. Kombineres ligningen med de andre Maxwell-ligningene, fremkommer bølgeligningen for de elektromagnetiske feltene. Den viser at de sprer seg utover i det tomme rom med lyshastigheten c.^[5]

Elektromagnetisme i materialer[rediger | rediger kilde]

Et materiale eller kontinuerlig medium består av ladete partikler som kan gi opphav til elektrisk polarisasjon P eller magnetisering M som vil påvirke de elektromagnetiske feltene E og B. Når polarisasjonen P varierer med tid og rom, vil det gi opphav til en ekstra ladningstetthet ρ_P = - ∇⋅P samt en ekstra strømtetthet J_P = ∂P/∂t. Likedan vil en variabel magnetisering M gi opphav til en ny strømtetthet J_M = c ∇ × M som også må inkluderes i Maxwell-ligningene.^[5] Det betyr at Gauss-ligningen forandres til

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} =4\pi (\rho -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {P} )

mens sirkulasjonsloven går over til

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} ={4\pi  \over c}\left(\mathbf {J} +c{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} +{\partial \mathbf {P}  \over \partial t}\right)+{1 \over c}{\partial \mathbf {E}  \over \partial t}

Disse kan begge forenkles ved å innføre forskyvningsfeltet D og det modifiserte magnetfeltet H definert ved

{\begin{aligned}\mathbf {D} &=\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} \\\mathbf {B} &=\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M} \end{aligned}}

De to andre Maxwell-ligningene forblir uforandret slik at de samlet tar formen

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =4\pi \rho ,\;\;\;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0,\;\;\;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} ={4\pi  \over c}\mathbf {J} +{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

i det gaussiske systemet.^[2]

Konvertering til SI-systemet[rediger | rediger kilde]

Hvis man sammenligner Coulombs lov F = QQ' /r² for kraften mellom to ladninger med det tilsvarende uttrykket QQ' /4π ε₀r² i SI-systemet, så ser man at en ladning Q i det gaussiske systemet tilsvarer en ladning Q/(4π ε₀)^1/2 i dette mer moderne systemet. Utfra lignende betraktninger kan en forbinde sammenhenger mellom alle elektromagnetiske størrelser i det ene systemet med de tilsvarende i det andre.^[2]

Fysisk størrelse	Gauss-systemet	SI-systemet
Elektrisk ladning $Q$ og ladningstetthet $\rho$ samt elektrisk strøm $I$ og strømtetthet $\mathbf {J}$	$Q$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\,Q$
Elektrisk felt $\mathbf {E}$ og elektrisk potensial $V$	$\mathbf {E}$	${\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E}$
Elektrisk forskyvningsfelt $\mathbf {D}$	$\mathbf {D}$	${\sqrt {\tfrac {4\pi }{\varepsilon _{0}}}}\,\mathbf {D}$
Magnetisk fluksfelt $\mathbf {B}$ og vektorpotential $\mathbf {A}$	$\mathbf {B}$	${\sqrt {\tfrac {4\pi }{\mu _{0}}}}\,\mathbf {B}$
Magnetisk felt $\mathbf {H}$	$\mathbf {H}$	${\sqrt {4\pi \mu _{0}}}\,\mathbf {H}$

På denne måten kan man oversette en matematisk formel i det gaussiske systemet til den tilsvarende formelen i SI-systemet. Man behøver da formelen c = (1/ε₀μ₀)^1/2 for lyshastigheten som opptrer i Gauss-systemet, uttrykt ved konstantene ε₀ og μ₀ som istedet benyttes i SI-systemet. Noen eksempel er:

Formel i Gauss-systemet	Konverting fra Gauss til SI			Resultat i SI-systemet
$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$	$\mathbf {F}$	$=$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}q({\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\mathbf {E} +{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}(\mathbf {v} \times {\sqrt {\frac {4\pi }{\mu _{0}}}}\mathbf {B} ))$	$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$	${\sqrt {\frac {4\pi }{\varepsilon _{0}}}}\mathbf {D}$	$=$	${\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\mathbf {E} +4\pi {\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\mathbf {P}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$
$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A}$	${\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\mathbf {E}$	$=$	$-{\boldsymbol {\nabla }}({\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}V)-{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\sqrt {\frac {4\pi }{\mu _{0}}}}\mathbf {A}$	$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A}$
$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$	$\mathbf {S}$	$=$	${\frac {1}{4\pi {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\mathbf {E} \times {\sqrt {\frac {4\pi }{\mu _{0}}}}\mathbf {B}$	$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$

Konvertering av matematiske uttrykk fra SI-systemet til Gauss-systemet kan gjøres på tilsvarende måte.

Referanser[rediger | rediger kilde]

^ H. Hertz, Electric Waves, MacMillan and Co, London (1893).
^ ^a ^b ^c ^d J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.
^ G.D. Garland, The contributions of Carl Friedrich Gauss to geomagnetism, Historia Mathematica 6 (1), 5-29 (1979).
^ A. Sommerfeld, Vorlesungen über theoretische Physik: Elektrodynamik, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1961).
^ ^a ^b D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

R.G. Littlejohn, Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory, Physics 221A lecture notes, University of California, Berkeley (2020).
J.S. Colton, Gaussian Units, Physics 441, Brigham Young University, (2019)
N.J. Carron, Babel of units, arxiv-1506.01951.

[Hertz-1] H. Hertz, Electric Waves, MacMillan and Co, London (1893).

[Jackson-2] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.

[Garland-3] G.D. Garland, The contributions of Carl Friedrich Gauss to geomagnetism, Historia Mathematica 6 (1), 5-29 (1979).

[Sommerfeld-4] A. Sommerfeld, Vorlesungen über theoretische Physik: Elektrodynamik, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1961).

[Griffiths-5] D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]