Fresnels formler

Lys kommer inn fra venstre mot en loddrett grenseflate til et tettere medium. Her blir en del av lyset reflektert tilbake, mens resten bryter gjennom til den andre siden.

Fresnels formler bekriver hvordan amplituden til lys eller en elektromagnetisk bølge forandres når den blir reflektert eller brytes i en plan grenseflate mellom to medier eller material. Mens Snells lov angir retningen til det reflekterte og transmitterte lyset, bestemmer Fresnels formler derfor intensitene i de to forskjellige retningene.

På begynnelsen av 1800-tallet utviklet den franske fysiker Augustin Fresnel en teori for lys som transverse bølger i en mekanisk eter. På den måten kunne han forklare lysets polarisasjon og dobbeltbrytning. Den samme, mekaniske modellen gjorde det også mulig å beregne hvordan de transverse amplitudene forandres når en slik bølge beveger seg fra et material til et annet. De resulterende formlene viste seg å forbli de samme da James Maxwell omtrent femti år senere etablerte sin elektromagnetiske teori som er uavhengig av en mekanisk eter. En lysbølge består nå av transverse svingninger av elektriske og magnetiske felt.

Når man ser bort fra mulig absorbsjon av lyset i de to mediene, er deres optiske egenskaper gitt ved deres brytningsindekser n₁ og n₂. Formlene til Fresnel vil derfor helt generelt involvere disse sammen med retningen til de forskjellige lysstrålene samt deres polarisasjon. I det enkleste tilfellet der lyset kommer vinkelrett inn mot grenseflaten mellom de to mediene, reduseres disse til

$R=\left({n_{1}-n_{2} \over n_{1}+n_{2}}\right)^{2}$

Den angir hvor stor del av det innfallende lyset som reflekteres tilbake. For overgangen mellom luft med n₁ = 1.0 og glass med n₂ = 1.5, gir den R = 0.04. Bare fire prosent av lyset vil i dette viktige tilfellet bli reflektert.

Refleksjon og transmisjon

Retninger til reflektert og transmittert lys i forhold til innfallsloddet som er gitt ved flatenormalen.

Det innfallende lyset antas å være en plan bølge hvis retning er gitt ved bølgevektoren k₁ i medium 1. Denne danner «innfallsvinkelen» θ₁  med normalen til grenseflaten som vanligvis i denne sammenhengen omtales som «innfallsloddet». Ved speilende refleksjon blir en del av lyset reflektert tilbake i en retning k₁' som igjen danner vinkelen θ ₁'  = θ₁  med innfallsloddet, men på den andre siden av dette.

Resten av lyset fortsetter ved transmisjon inn i et nytt materiale 2 på den andre siden av grenseflaten. Denne skiller to medier med forskjellige brytningsindekser n₁ og n₂. Når disse er dielektriske materialer, kan de antas å være reelle størrelser. Retningen til det transmitterte lyset k₂ danner vinkelen θ₂  med innfallsloddet og følger fra Snells lov

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$

Når lyset beveger seg fra et optisk tynnere inn i et optisk tettere medium, vil n₂ > n₁. Da vil brytningsvinklen θ₂ < θ₁, og det innfallende lyset blir brudt mot innfallsloddet.

Både loven for refleksjon og brytning kan forklares på forskjellige måter. Begge fenomenene følger fra Huygens prinsipp om partialbølger eller Fermats prinsipp om korteste, optiske lengde for lyset. Disse to lovene har sitt utgangspunkt i at lyshastigheten c  er redusert til v = c /n  i et medium med brytningsindeks n. En mer fullstendig beskrivelse av lys som elektromagnetiske bølger følger fra Maxwells ligninger. De gir også en detaljert forklaring av dets refleksjon og transmisjon i grenseflaten mellom to medier. Den inneholder også resultatet for de relative amplitudene til lyset i disse to retningene og utgjør innholdet av Fresnels formler.

Grensebetingelser

Hvor mye som reflekteres og transmitteres av en mekanisk bølge som møter en vegg, er bestemt av grensebetingelsene i denne.

Det elektriske feltet til en plan bølge med vinkelfrekvens ω  varierer i tid og rom som

$\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)$

hvor E₀ er en konstant amplitude. Den står vinkelrett på bølgevektoren k som gir bølgens utbredelsesretning. Bølgetallet k = |k| = nω/c  hvor n  er brytningsindeksen til mediet som bølgen beveger seg i. Når den møter en plan grenseflate mot et annet medium, vil den splittes opp i en reflektert og en transmittert bølge slik at det totale, elektriske feltet på hver side av denne oppfyller grensebetingelsen

$\mathbf {n} \times (\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})=0$

Den følger direkte fra Maxwells ligninger. Her er n en enhetsvektor langs innfallsloddet som står vinkelrett på grenseflaten. Den samme bølgen inneholder også et magnetisk felt H som står vinkelrett både på k og E. Ved grensefllaten må det på samme vis oppfylle betingelsen

$\mathbf {n} \times (\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})=0$

De tangentiale komponentene til begge feltene er derfor de samme på de to sidene av grensefllaten.

Innfallsplan og polarisasjon

På den ene siden av grenseflaten er det både en innkommende og en reflektert bølge, mens på den andre siden er det bare en trransmittert bølge. Langs grenseflaten må de tilsvarende feltene oppfylle grensebetingelsene. For at det skal være mulig for alle punkt x₀ på grensefleten, må man ha at

$\mathbf {k} _{1}\cdot \mathbf {x} _{0}=\mathbf {k} _{1}'\cdot \mathbf {x} _{0}=\mathbf {k} _{2}\cdot \mathbf {x} _{0}=0$

Da man alltid kan skrive x₀ = n × x for et helt vilkårlig punkt x i rommet, vil derfor

$(\mathbf {k} _{1}-\mathbf {k} '_{1})\cdot (\mathbf {n} \times \mathbf {x} )=(\mathbf {k} _{1}\times \mathbf {n} -\mathbf {k} '_{1}\times \mathbf {n} )\cdot \mathbf {x}$

og likedan for likheter med k₂. Det betyr at

$\mathbf {k} _{1}\times \mathbf {n} =\mathbf {k} '_{1}\times \mathbf {n} =\mathbf {k} _{2}\times \mathbf {n}$

fordi denne sammenhengen skal være gyldig for alle x. De tre bølgevektorene ligger derfor i samme plan som kalles for innfallsplanet. Den første likheten her gir refleksjonsloven sinθ₁ = sinθ₁', mens den andre er Snells lov n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂. Slik fremkommer begge lovene som en direkte konsekvens av elektromagnetisk teori.

Retningen av det elektriske feltet E til en elektromagnetisk bølge benyttes vanligvis for å angi dens polarisasjon. Da det kun finnes to uavhengige retninger for denne, velges de ofte i optikken å være parallell (p) med innfallsplanet eller vinkelrett (s) på dette. Denne betegnelsen kommer opprinnelig fra tysk senkrecht som betyr loddrett. En ekvivalent betegnelse er TE da retningen til det elektriske feltet er transvers eller vinkelrett på innfallsplanet. Tilsvarende vil p-polarisasjon da kalles for TM da det magnetiske feltet i det tilfellet står vinkelrett på innfallsplanet.

Utledning

Feltvektorer ved p-polarisasjon. Magnetfeltet H_r  og derfor også E_r  har her motsatt retning enn den som er benyttet i teksten.

Retningen til det magnetisk feltet er forbundet med den til det elektriske feltet ved Maxwell-ligningen ∇ × E = - ∂B/∂t. For en plan bølge med frekvens ω  og bølgevektor k har den som direkte konsekvens at

$\mathbf {k} \times \mathbf {E} =\omega \mu _{0}\mathbf {H}$

hvor den magnetiske permeabiliteten i de to mediene settes lik med den magnetiske konstanten μ₀. Herav kan retningene til de tre vektorene E, H og k finnes ved bruk av høyrehåndsregelen.

TM: p-polarisasjon

Ved p-polarisasjon vil de elektriske feltene i de tre lysstrålene alle ligge i innfallsplanet med retninger som i utgangspunktet kan velges fritt. Det betyr at de kan være forskjellige i uiike lærebøker. Retningene til de tilsvarende magnetfeltene følger så fra dette valget og lysstrålenes bevegelsesretninger. De tangentiale komponentene til de magnetiske feltene langs grenseflaten må da oppfylle ligningene

$n_{1}E_{i}+n_{1}E_{r}=n_{2}E_{t}$

På samme måte må den tangentiale komponenten til det totale, elektriske feltet være like stor på begge sidene av denne. Det gir ligningen

$\cos \theta _{1}E_{i}-\cos \theta _{1}E_{r}=\cos \theta _{2}E_{t}$

Herav kan både den reflekterte E_r  og den transmitterte amplituden E_t  uttrykkes ved den innfallende amplituden E_i . De relative amplitudene er da gitt ved koeffisientene

$r_{p}:={E_{r} \over E_{i}}={n_{2}\cos \theta _{1}-n_{1}\cos \theta _{2} \over n_{2}\cos \theta _{1}+n_{1}\cos \theta _{2}}$

$t_{p}:={E_{t} \over E_{i}}={2n_{1}\cos \theta _{1} \over n_{2}\cos \theta _{1}+n_{1}\cos \theta _{2}}$

Ved å benytte den trigonometriske identiteten $2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )$ og Snells lov $n_{2}=n_{1}\sin \theta _{1}/\sin \theta _{2},$ kan refleksjonskoeffisienten skrives som

${\begin{aligned}r_{p}&={\sin \theta _{1}\cos \theta _{1}-\sin \theta _{2}\cos \theta _{2} \over \sin \theta _{1}\cos \theta _{1}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{2}}\\&={\sin 2\theta _{1}-\sin 2\theta _{2} \over \sin 2\theta _{1}+\sin 2\theta _{2}}={\sin(\theta _{1}-\theta _{2})\cos(\theta _{1}+\theta _{2}) \over \sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\\&={\tan(\theta _{1}-\theta _{2}) \over \tan(\theta _{1}+\theta _{2})}\end{aligned}}$

Hvis denne koeffisienten blir negativ, betyr det bare at den antatte retningen av det elektriske feltet til det reflekterte lyset er feil.

TE: s-polarisasjon

Grafisk fremstilling av Fresnels formler for refleksjons- og transmisjonsamplitudene når n₁ < n₂.

Når de elektriske feltene står vinkelrett på innfallsplanet, er de også alle tangentiale til grenseflaten. De elektromagnetiske grensebetingelsene blir da

$E_{i}+E_{r}=E_{t}$

$n_{1}\cos \theta _{1}E_{i}-n_{1}\cos \theta _{1}E_{r}=n_{2}\cos \theta _{2}E_{t}$

Herav finner man refleksjonskoeffisienten

$r_{s}:={E_{r} \over E_{i}}={n_{1}\cos \theta _{1}-n_{2}\cos \theta _{2} \over n_{1}\cos \theta _{1}+n_{2}\cos \theta _{2}}$

og transmisjonskoeffisienten

$t_{s}:={E_{t} \over E_{i}}={2n_{1}\cos \theta _{1} \over n_{1}\cos \theta _{1}+n_{2}\cos \theta _{2}}$

Igjen kan refleksjonskoeffisienten forenkles ved bruk av en enklere, trigonometrisk identitet og Snells lov. Det gir

${\begin{aligned}r_{s}&={\sin \theta _{2}\cos \theta _{1}-\sin \theta _{1}\cos \theta _{2} \over \sin \theta _{2}\cos \theta _{1}+\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}}\\&=-{\sin(\theta _{1}-\theta _{2}) \over \sin(\theta _{1}+\theta _{2})}\end{aligned}}$

Når lyset beveger seg fra et optisk tynnere til et optisk tettere medium, er n₁ < n₂. Snells lov gir dermed at θ₁ > θ₂ slik at denne refleksjonskoeffisienten blir negativ. Den reflekterte bølgen får dermed en ekstra faseforskyvning på 180° for alle verdier av innfalllsvinkelen.

Kommentarer

Refleksjonskoeffisienten r_s  varierer fra verdien

$r_{s}(\theta _{1}=0)={n_{1}-n_{2} \over n_{1}+n_{2}}$

ved loddrett innfall til r_s  = -1 for horisontalt innfall θ₁ = 90° . Den er derfor alltid negativ når n₁ < n₂ som for eksempel for lys som går fra luft til glass eller vann.

Derimot vil refleksjonskoeffisienten r_p  i denne situasjonen skifte fortegn ved den samme variasjonen av innfallsvinkelen. Den starter ut med den positive verdien

$r_{p}(\theta _{1}=0)={n_{2}-n_{1} \over n_{1}+n_{2}}$

for vertikalt innfall og ender opp med r_p  = -1 for tangentialt innfall for θ₁ = 90° . Denne koeffisienten må derfor bli null for en mellomliggende verdi θ_B  av innfallsvinkelen. Dette er Brewsters vinkel hvor bare den s-polariserrte delen av lyset blir reflektert, r_p(θ₁ = θ_B) = 0. Fra formelen for r_p  skjer dette ved en innfallsvinkel som må oppfylle sin 2θ₁ = sin 2θ₂. Bortsett fra den trivielle løsningen θ₁ = θ₂ = 0°, må derfor 2θ₁ = 180° - 2θ₂. Det betyr at Brewsters vinkel oppfyller betingelsen

$\theta _{1}+\theta _{2}=90^{\circ }$

slik at den reflekterte lysstrålen står vinkelrett på den transmitterte. Dette resultatet følger også direkte fra det trigonometriske uttrykket for r_p  da cot 90° = 0. Snells lov gir nå n₁ sinθ_B = n₂ sin(90° - θ_B)  eller

Grafisk fremstilling av Fresnels formler for refleksjons- og transmisjonsamplitudene når n₁ > n₂ som kan gi totalrefleksjon.

$\tan \theta _{B}={n_{2} \over n_{1}}$

For overgangen fra luft med n₁ = 1.0 til glass med n₂ = 1.5 blir denne vinkelen θ_B = 56° . Det reflekterte lyset er fullstendig s-polarisert ved denne innfallsvinkelen. Hvis det innkommende lyset er s-polarisert, vil brøkdelen R_p = |r_p |² bli reflektert. For overgangen fra luft til glass blir dette omtrent 15 %. De resterende 85 % blir transmittert inn i glasset med en brytningsvinkel θ₂ = 90° - 56° = 34°. For upolarisert, innkommende lys ville det transmitterte lyset i dette tilfellet også inneholde 100 % av den p-polariserte delen.

Totalrefleksjon

Når lyset går fra et medium som vann til et optisk tynnere medium som luft, er n₂ < n₁. Snells lov sin θ₁ = (n₂/n₁)sin θ₂ sier da at innfallsvinkelen θ₁ må være mindre enn en kritisk vinkel gitt ved

$\sin \theta _{c}={n_{2} \over n_{1}}$

da brytningsvinkelen θ₂ ikke kan være større enn 90° . Ved denne kritiske vinkelen er begge refleksjonskoeffisientene

$r_{s}(\theta _{1}=\theta _{c})=r_{p}(\theta _{1}=\theta _{c})=1$

da tan (θ_c - 90°) = tan (θ_c + 90°) og sin (θ_c - 90°) = - sin (θ_c + 90°). Det betyr at ved denne og større innfallsvinkler blir alt lys reflektert uavhengig av dets polarisasjon. Dette fenomenet er derfor kjent som totalrefleksjon.

Atomistisk utledning

Fresnel beregnet disse koeffisientene ut fra sin mekaniske forståelse av lys som transverse svingninger i en elastisk eter for to hundre års siden. Denne beskrivelsen ble erstattet av Maxwells elektromagnetiske teori femti år senere. Men selve opprinnelsen av lys ble først forklart ved etableringen av moderne kvantefysikk hvor det fremkommer fra bevegelsen til elektroner i atomer. Basert på denne innsikten kunne Feynman i sine forelesninger utlede Fresnels formler ved å undersøke hvordan lys spredes fra elektronene i faste stoffer og dermed gi opphav til dets refleksjon og transmisjon.

Denne beskrivelsen gir også en atomistisk forklaring av brytningsindeksen til materialet. Den skyldes egenskapene til atomene dypt inne i dette. Derimot skyldes refleksjon av lyset atomene som er plassert i dets overflate. Det elektriske feltet i den innkommende lysbølgen får elektronene i disse atomene til å oscillere med samme frekvens og dermed sende ut nye lysbølger. De må ha en slik fordeling at de kansellerer den innkommende bølgen inne i materialet. Samtidig genererer disse oscillasjonene den brutte lysstrålen og den reflekterte på en slik måte at de kun opptrer i de retninger som er gitt ved Snells lover.

Intensiteter

Energien i den innkommende strålingen blir overført til reflektert og transmittert energi. Så lenge man betrakter materialer med reellle brytningsindekser, vil ikke noe av energien forsvinne. Intensiteten av den innkommende strålingen må derfor være lik med summen av intensitetene til den reflekterte og transmitterte strålingen.

Disse intensitetene kan beregnes fra Poyntings vektor S = E × H som sier hvor mye energi som strømmer per tidsenhet gjennom en flate som står vinkelrett på stråleretningen og har et enhetlig areal. Hvis man derfor betrakter et areal A  i grenseflaten mellom de to mediene, vil det innfallende og reflekterte lyset som treffer dette, gå gjennom areal som er A cosθ₁ . På samme vis vil det transmitterte lyset ha et tverrsnitt A cosθ₂ . Energibalansen gir dermed

$n_{1}E_{i}^{2}\cos \theta _{1}=n_{1}E_{r}^{2}\cos \theta _{1}+n_{2}E_{t}^{2}\cos \theta _{2}$

Leddet på venstre side representerer den innkommende intensiteteten, mens de to leddene på høyre side representerrer henholdsvis den reflekterte og den transmitterte intensiteten. Det er derfor naturlig å definere en refleksjonsfaktor

$R=\left({E_{r} \over E_{i}}\right)^{2}=r^{2}$

og en transmisjonsfaktor

$T={n_{2}\cos \theta _{2} \over n_{1}\cos \theta _{1}}\left({E_{t} \over E_{i}}\right)^{2}={n_{2}\cos \theta _{2} \over n_{1}\cos \theta _{1}}t^{2}$

De vil da oppfylle

$R+T=1$

som kan verifiseres eksplisitt både for s- og p-polarisasjon ved å benytte de tilsvarende refleksjons- og transmisjonskoeffisientene.

Eksterne lenker

• G.A. Smith, Fresnel Equations, enkel introduksjon, University of Arizona.
• OpenCourseWare, Fresnel Equations and EM Power Flow, forelesningsnotat fra MIT
• J.L. Edmunds, Fresnels Equations at an Angle, YouTube video