Fresnel-integral

De to Fresnel-integralene kan visualiseres som en klotoide med to asymptotiske punkt.

Fresnel-íntegral definerer matematiske funksjoner som opptrer i forbindelse med diffraksjon av lys. Dette fenomen ble først systematisk studert og gitt en matematisk beskrivelse av den franske ingeniør og fysiker Augustin Fresnel på begynnelsen av 1800-tallet.

Det finnes to standardiserte og reelle slike funksjoner. De er gitt ved integralene

$C(t)=\int _{0}^{t}\!du\cos u^{2},\;S(t)=\int _{0}^{t}\!du\sin u^{2}$

Hvis argumentet til de trigonometriske funksjonene multipliseres med faktoren π /2, går funksjonene over til det som kalles normaliserte Fresnel-integral.

De to funksjonene gir en parameterfremstilling av en plan kurve (x = C(t ), y = S(t )) som heter klotoide eller Cornu-spiral. Både dens buelengde og krumning er proporsjonale med parameteren t . Kurven har to asymptotiske punkt i grensen der t → ± ∞ . Det første følger fra det komplekse Fresnel-integralet definert ved kombinasjonen C(∞) + i S(∞) med verdien

$\int _{0}^{\infty }\!dx\,e^{ix^{2}}={\sqrt {\pi \over 8}}(1+i)$

og tilsvarende for det andre. Disse integral og tilsvarende funksjoner ble først studert av Leonhard Euler på 1700-tallet i forbindelse med bøyning av elastiske bånd uten at Fresnel synes å hatt kjennskap til det.

Egenskaper

Standard Fresnel-integral S(x) og C(x) for små verdier av argumentet. Asymptotisk går de mot verdien √(π /8) = 0.6267..

For små verdier av argumentet kan rekkeutviklinger av Fresnel-integralene finnes ved å benytte tilsvarende rekker for de trigonometriske funksjonene som inngår i deres definisjoner. Det gir

${\begin{aligned}C(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}\\&=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}S(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}\\&={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots \end{aligned}}$

Da begge seriene består av ledd xⁿ  hvor n  er et oddetall, er Fresnel-integralene antisymmetriske funksjoner,

$C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x)$

Dette følger også indirekte fra definisjonen. Deres midtpunkt er i x = 0 hvor de begge er null. For større verdier av argumentet er disse rekkene lite egnet for numerisk beregning av funksjonene.

Asymptotiske verdier

De to Fresnel-funksjonene kan kombineres ved bruk av Eulers formel. Det gir det komplekse integralet

$F(x)=C(x)+iS(x)=\int _{0}^{x}\!dt\,e^{it^{2}}$

For store verdier av argumentet nærmer begge funksjonene seg verdien av det komplekse integralet F(∞). Den kan finnes ved kompleks integrasjon av funksjonen $f(z)=\exp(iz^{2})$ rundt en lukket vei som på figuren. Da den ikke inneholder noen singulariteten, vil derfor

$\oint \!dz\,e^{iz^{2}}=0$

ifølge residueteoremet. Den søkte verdien F(∞) vil nå fremkomme fra integrasjonen langs x-aksen, mens bidraget fra sirkelbuen med radius R  vil forsvinne i grensen R → ∞. Langs den rette veien hvor z = t exp(iπ /4), er z = it ² slik at teoremet gir

$\int _{0}^{\infty }\!dt\,e^{it^{2}}-e^{i\pi /4}\int _{0}^{\infty }\!dt\,e^{-t^{2}}=0$

Kompleks integrasjonsvei med ombyttet x- og y-akse når R → ∞.

Da det andre leddet er gitt ved det vanlige Gauss-integralet som (1/2)√π , blir resultatet

$F(\infty )={1 \over 2}e^{i\pi /4}{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi \over 8}}(1+i)$

Dermed er de asymptotiske verdiene C(∞) = S(∞) = √(π /8) = (1/2)√(π /2). Euler fant disse på en helt annen måte ved bruk av gammafunksjonen.

Etter omskrivningen

$C(x)=\int _{0}^{x}\!du\cos u^{2}={\sqrt {\pi \over 8}}-\int _{x}^{\infty }\!du\cos u^{2}$

kan Fresnel-integralene beregnes mer nøyaktig i den asymptotiske grensen. I det siste leddet på høyre side innføres den nye integrasjonsvariable v = u²   som ved partiell integrasjon gir

$\int _{x}^{\infty }\!du\cos u^{2}={1 \over 2}\int _{x^{2}}^{\infty }{\cos v \over {\sqrt {v}}}=-{\sin x^{2} \over 2x}+\cdots$

Leddene som her droppes vil bli neglisjerbare når x → ∞ . På den måten kommer man frem til de mer nøyaktige uttrykkene

${\begin{aligned}C(x)&={\sqrt {\pi \over 8}}+{\sin x^{2} \over 2x}\\S(x)&={\sqrt {\pi \over 8}}-{\cos x^{2} \over 2x}\end{aligned}}$

i denne grensen. Funksjonene oscillerer derfor med en jevnt avtagende amplitude rundt sine asymptotiske verdier.

Normaliserte integral

Normaliserte Fresnel-integral S(x) og C(x) for små verdier av argumentet. Asymptotisk nærmer de seg verdien 1/2 .

I noen sammenhenger er det vanlig å definere Fresnel-integralene på en litt annen måte. Spesielt i optikken gjør dette deres praktiske bruk noe enklere. De omtales ofte som normaliserte Fresnel-integral og er gitt som

$C_{n}(x)=\int _{0}^{x}\!dt\cos {\pi \over 2}t^{2},\;S_{n}(x)=\int _{0}^{x}\!dt\sin {\pi \over 2}t^{2}$

Med et skifte av integrasjonsvariabel finner man herav sammenhengen

$C_{n}(x)={1 \over k}\,C(kx),\;S_{n}(x)={1 \over k}\,S(kx)$

med de standardiserte integralene hvor nå k = √(π /2). De asymptotiske verdiene blir dermed enklere

$C_{n}(\infty )=S_{n}(\infty )={1 \over 2}$

Vanligvis blir indeksen som angir at funksjonen er normalisert, utelatt som i figuren ved siden av.

Ekstremalpunkt

De to normaliserte Fresnel-integralene oscillerer rundt sine asymptotiske verdier. Deres maksima og minima kan finnes fra de deriverte som er

${dC \over dx}=\cos {\pi \over 2}x^{2},\;{dS \over dx}=\sin {\pi \over 2}x^{2}$

Den første funksjonen har derfor slike ekstremalverdier for

$x_{n}^{2}=2n-1=1,3,5,\cdots$

Når n = 1, er dette et maksimum for x = 1, mens n = 2 gir et minimum for x = √3 = 1.732.. Slik fortsetter funksjonen C(x) med vekselvis maksima og minima mot den asymptotiske verdien 1/2 når x → ∞ .

Klotoide basert på normaliserte Fresnel-integral med sine to asymptotiske punkt.

På samme vis har funksjonen S(x) ekstremalverdier når argumentet er

$x_{n}^{2}=2n=2,4,6,\cdots$

Den har sitt første maksimum for x = √2 = 1.414.. etterfulgt av et minimum for x = 2 og så videre.

Disse funksjonene gir en naturlig parametrisering av klotoiden. Den er definert som

$x(s)=C(s),\;y(s)=S(s)$

hvor s  er dens buelengde målt fra dens midtpunktet (0, 0). Kurven har to asymptotiske punkt

$(x,y)=\pm {\Big (}{1 \over 2},{1 \over 2}{\Big )}$

som fremkommer i grensen der s → ± ∞ .

Ekstremalverdiene til S(s) gir nå de verdier av argumentet hvor stigningstallet

${dy \over dx}={dS \over dC}=\tan {\pi \over 2}s^{2}$

er null, noe som betyr at kurven har horisontale tangenter. Tilsvarende gir ekstremalverdiene til C(s) de verdier av buelengden hvor tangentene er vertikale. Det betyr at for lengdene s_n = √n  langs kurven vil den vekselvis ha en horisontal og en påfølgende vertikal tangent der n = 0, 1, 2, 3 og så videre. Slik fortsetter den med stadig tettere viklinger om det asymptotiske punktet (0.5, 0.5) og dermed også raskt økende krumning.

Eksterne lenker

• E.W. Weisstein, Fresnel Integrals, Wolfram MathWorld.