Ekvivalensrelasjon

En ekvivalensrelasjon er i matematikk en binær relasjon som uttrykker at to objekter i en mengde er ekvivalente, det vil si at objektene deler en eller flere definerte egenskaper, uten nødvendigvis å være identiske.

En ekvivalensrelasjon vil dele objekter i en mengde inn i en samling av disjunkte mengder, kalt ekvivalensklasser.

Formell definisjon

En binær relasjon S på en mengde M definerer en sammenheng mellom to og to elementer i M, slik at for elementene a og b, så er relasjonen enten sann eller usann. For eksempel kan en for mengden av punkt i planet (x,y) definere relasjonen «har første koordinat lik». For to punkt vilkårlige punkt kan denne relasjonen være sann eller usann: (x₁,y₁) har første koordinat lik (x₂,y₂). Når relasjonen S er sann for to element a og b, så kan dette skrives aSb.

To objekter i en mengde kan defineres som ekvivalente dersom de deler en grunnleggende egenskap.^[1]

En ekvivalensrelasjon er en binær relasjon som er refleksiv, symmetrisk og transitiv:^[2]^[3]

Relasjonen er refleksiv, slik at aSa for alle a i mengden M.
Relasjonen er symmetrisk, slik at aSb medfører bSa.
Relasjonen er transitiv, slik at aSb og bSc medfører aSc.

En ekvivalensrelasjon skrives ofte med symbolet $\sim$ istedenfor S, som i uttrykket $a\sim b$ .^[2] Symbolet representerer en horisontal S, den første bokstaven i ordet similie. Denne notasjonen var først brukt av Gottfried Leibniz i et manuskript fra 1679.^[4]

Ekvivalensklasser

Til en ekvivalensrelasjon hører det en partisjon av mengden M, det vil si en oppdeling av M i ikke-tomme, disjunkte mengder.^[2] Disse delmengdene kalles ekvivalensklasser, og hver klasse kan defineres som

M_{a}=\lbrace b\in M|bSa\rbrace .

Et element i M er medlem av én og kun én ekvivalensklasse. To elementer av mengden M er ekvivalente (med hensyn til ekvivalensrelasjonen) hvis og bare hvis de er elementer av samme ekvivalensklasse i partisjonen.

Eksempler

Eksempler på ekvivalens

To trekanter er ekvivalente dersom de har parvis like store vinkler, det vil si er formlike.^[1]
To ligninger er ekvivalente dersom de har samme løsningsmengde.^[1]
To matriser A og B med samme dimensjon er ekvivalente dersom det eksisterer to ikke-singluære matriser C og D slik at A = CBD.^[5]
To mengder er ekvivalente dersom de har samme kardinalitet.^[1]
To brøker er ekvivalente dersom de begge kan reduseres til en og samme ekte brøk.^[1]
I et vektorrom er to normfunksjoner $\lVert \cdot \rVert _{a}$ og $\lVert \cdot \rVert _{b}$ ekvivalente dersom det eksisterer positive konstanter $m$ og $M$ slik at^[6]

m\lVert \cdot \rVert _{a}\leq \lVert \cdot \rVert _{b}\leq M\lVert \cdot \rVert _{a}

.

Eksempler på ekvivalensrelasjoner

Relasjonen «har første koordinat lik» er en ekvivalensrelasjon i R².
For mengden av elever på en skole, er «går i samme klasse» en ekvivalensrelasjon.^[3]
For lineære transformasjoner er «har samme rang» en ekvivalensrelasjon.^[7]

Referanser

^ ^a ^b ^c ^d ^e E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 197. ISBN 0-00-434347-6.
^ ^a ^b ^c Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. s. 8. ISBN 0-273-08404-6.
^ ^a ^b Håvard Johnsbråten (1976). Matematisk logikk. Oslo: Aschehoug. s. 40. ISBN 8203066720.
^ Florian Cajori (2007). A history of mathematical notations. I. Princeton, USA: Cosimo. s. 413. ISBN 978-1-60206-684-7.
^ Helmut Lütkepohl (1996). Handbook of matrices. Chichester: John Wiley and Sons. s. 243. ISBN 0-471-97015-8.
^ Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. s. 142. ISBN 0-273-08404-6.
^ Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. s. 94. ISBN 0-273-08404-6.

[COL197-1] E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 197. ISBN 0-00-434347-6.

[MIL8-2] Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. s. 8. ISBN 0-273-08404-6.

[HJ-3] Håvard Johnsbråten (1976). Matematisk logikk. Oslo: Aschehoug. s. 40. ISBN 8203066720.

[NOT-4] Florian Cajori (2007). A history of mathematical notations. I. Princeton, USA: Cosimo. s. 413. ISBN 978-1-60206-684-7.

[HL-5] Helmut Lütkepohl (1996). Handbook of matrices. Chichester: John Wiley and Sons. s. 243. ISBN 0-471-97015-8.

[MIL142-6] Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. s. 142. ISBN 0-273-08404-6.

[MIL94-7] Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. s. 94. ISBN 0-273-08404-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]