Eikonalapproksimasjon

Eikonalen for en punktformig lyskilde beskriver sfæriske bølgefronter som er vinkelrette på stråleretningene.

Eikonalapproksimasjon benyttes ved beregninger i optikk og kvantemekanikk til å forenkle de tilsvarende bølgeligningene i grensen der bølgelengden blir mye mindre enn andre lengder som inngår i anvendelsen. Den gir dermed grunnlaget for geometrisk optikk ved dannelse av bilder med bruk av lys.

Navnet eikonal fra gammelgresk εἰκών som betyr bilde, ble innført av Heinrich Bruns i 1895 i hans undersøkelser av geometrisk optikk basert på de opprinnelige formuleringene til William Rowan Hamilton seksti år tidligere. Hvordan denne fremgangsmåten følger fra bølgeligningen til lys, ble vist i 1911 av Arnold Sommerfeld og Iris Runge, datter av Carl Runge.

Metoden gjør det mulig å beskrive noen kvantemekaniske fenomen på en måte som er mer i overensstemmelse med bruk av klassisk mekanikk og går vanligvis under navnet av WKB-approksimasjonen som benyttes ved lave energier. Da bølgelengden til en partikkel avtar med økende energi, kan eikonalapproksimasjonen også benyttes til å beskrive kollisjoner mellom elementærpartikler ved høye energier.

Hamiltons optikk

Før James Clerk Maxwell etablerte sin elektromagnetiske teori for lys var det ikke klart om det skulle beskrives som utbredelse av bølger eller en strøm av partikler. Men de fleste praktiske anvendelser var basert på geometrisk optikk hvor denne uklarheten ikke spilte noen rolle og lyset beveget seg langs rette linjer i et homogent medium. Slike linjer omtales fremdeles i dag som lysstråler. De kan reflekteres og avbøyes etter veldefinerte lover.

Allerede i 1808 kunne Étienne-Louis Malus vise at lystråler som går ut fra en punktformig kilde, vil alltid bevege seg vinkelrett på fiktive flater i rommet uavhengig av hvor mange refleksjoner og brytninger de gjennomgår. Denne egenskapen er en konsekvens av Fermats prinsipp for lysets bevegelse. Samme prinsipp ble også lagt til grunn da Hamilton et par tiår senere videreutviklet dette resultatet slik at lysets gang kan beregnes mer systematisk.

De fiktive flatene til Malus kan beskrives ved en funksjon S(r) hvor hvert punkt har koordinatene r = (x,y,z). En slik flate er da gitt ved ligningen S(r) = S₁ hvor S₁ er en konstant. På en nærliggende flate er denne endret til S₂. Fra et punkt r₁ på den ene flaten går det lysstråler langs flatenormalen ∇S gjennom et område med brytningsindeks n(r) og treffer den andre flaten vinkelrett i et punkt r₂ slik at

$S_{2}-S_{1}=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\!ds\,n(\mathbf {r} )$

er minst mulig. Dette er innholdet av Fermats prinsipp hvor ds er en liten buelengde langs kurven som hver slik lysstråle beskriver.

Når de to flatene ligger svært nær hverandre, har man derfor den differensielle sammenhengen dS = ds n. Hvis man bruker buelengden s til å parametrisere lysstrålen, er denne gitt ved r = r(s). Dens retning faller sammen med tangentvektoren s = d r/ds til kurven hvor nå s⋅s = 1 da ds² = d r⋅d r. Ved å bruke gradienten til funksjonen S(r), kan man nå skrive dS = ∇S⋅d r som også skal være lik med ds n. Derfor har man det fundamentale resultatet

${\boldsymbol {\nabla }}S(\mathbf {r} )=\mathbf {s} n(\mathbf {r} )$

som er sentral i Hamiltons formulering av geometrisk optikk. Funksjonen S(r) inneholder den informasjon som inngår i det bildet som lysstrålene kan danne og ble gitt navnet eikonal av Bruns. Den ekvivalente differensialligningen

$({\boldsymbol {\nabla }}S)^{2}={\Big (}{\partial S \over \partial x}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\partial S \over \partial y}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\partial S \over \partial z}{\Big )}^{2}=n^{2}$

blir derfor omtalt som eikonalligningen. Den tilsvarer Hamilton-Jacobi-ligningen for bevegelse av klassiske partikler i et statisk potensial. Ved etableringen av bølgeteorien for lys, ble det klart at de fiktive flatene til Malus tilsvarer de elektromagnetiske bølgefrontene.

Eksempler

Bølgefrontene til en plan bølge er parallelle plan.

Når brytningsindeksen n(r) er konstant, beveger lyset seg med samme hastighet overalt og lysstrålene er rette linjer. Da kan eikonalen lett beregnes. Et eksempel er

$S(\mathbf {r} )=n\mathbf {s} \cdot \mathbf {r} =n(s_{x}x+s_{y}y+s_{z}z)$

hvor s⋅s = s_x² + s_y² + s_z² = 1. Den beskriver en plan bølge i retning s. Denne vektoren står vinkelrett på flatene som er gitt ved ligningen S(r) = konstant. Den beskriver plan i det tredimensjonale rommet som derfor også tilsvarer bølgefronter i dette tilfellet.

Et annet, viktig eksempel er bølgefrontene til en punktformig lyskilde i et medium med konstant brytningsindeks. Den vil stråle ut isotropt i alle retninger og beskrives ved den tilsvarende løsningen

$S(\mathbf {r} )=nr=n{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

av eikonalligningen. Den beskriver stråling i retninger s = ∇S/n = (x,y,z)/r som derfor beveger seg radielt utover som en kulebølge.

Brytningsindeksen n(r) påvirkes av temperaturen. I luften over et varmt område vil derfor den variere med høyden y over bakken. Hvis man antar at denne variasjonen er gitt ved funksjonen n(y) = n₀√(1 + y²/a²) hvor n₀ og a er konstanter, vil eikonalfunksjonen for en lysstråle i xy-planet være bestemt av differensialligningen

${\Big (}{\partial S \over \partial x}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\partial S \over \partial y}{\Big )}^{2}=n_{0}^{2}{\big (}1+{y^{2} \over a^{2}}{\big )}$

Det er lett å se at

$S(x,y)=n_{0}{\Big (}x+{y^{2} \over 2a}{\Big )}$

er en enkel løsning som oppfyller ligningen. Den beskriver en stråle i retning ∇S = n₀(e_x + (y/a)e_y). Hver stråle kan da tenkes som en flytlinje som oppfyller dy /dx = y/a og er derfor gitt som

$y=ae^{(x-x_{0})/a}$

Den stiger derfor eksponentielt oppover der x₀ er en integrasjonskonstant som tilsvarer punktet på overflaten der strålen når høyden y = a.

Strålegang

I et generelt medium vil lysstrålene følge kurver r = r(s) som ikke er rette linjer. Deres gang er gitt ved den fundamentale ligningen n s = ∇S med brytningsindeks n = n(r) hvor strålevektoren er gitt som s = d r/ds. Da curl til en gradient alltid er null, gir denne stråleligningen den ekvivalente formen

${\boldsymbol {\nabla }}\times n\mathbf {s} =0$

Ved å betrakte overgangen mellom to medier med forskjellig brytningsindeks, følger herav direkte Snells brytningslov.

En beregning av kurven som lyset i alminnelighet følger, kan gjøres ved bruk av Fermats prinsipp. Samme resultat kan finnes direkte fra stråleligningen basert på eikonalen. Tar man den deriverte av denne i med hensyn på buelengden s i en bestemt retning, blir

${\begin{aligned}{d \over ds}{\Big (}n{dx_{i} \over ds}{\Big )}&={d \over ds}{\Big (}{\partial S \over \partial x_{i}}{\Big )}=\sum _{j}{dx_{j} \over ds}{\partial \over \partial x_{j}}{\Big (}{\partial S \over \partial x_{i}}{\Big )}\\&=\sum _{j}{1 \over n}{\partial S \over \partial x_{j}}{\partial \over \partial x_{i}}{\Big (}{\partial S \over \partial x_{j}}{\Big )}={1 \over 2n}{\partial \over \partial x_{i}}\sum _{j}{\Big (}{\partial S \over \partial x_{j}}{\Big )}^{2}\end{aligned}}$

da de to partiellderiverte kan byttes om. På høyre side benyttes eikonalligningen slik at den kan skrives som gradienten ∂n/∂x_i  av brytningsindeksen. Dermed forenkles ligningen til

${d \over ds}{\Big (}n{d\mathbf {r} \over ds}{\Big )}={\boldsymbol {\nabla }}n(\mathbf {r} )$

Den er identisk med Euler-Lagrange-ligningen for strålegangen som følger fra Fermats prinsipp. Mer direkte viser den hvordan strålens retning s = d r/ds varierer med forandringer i brytningsindeksen.

Bølgeteori

Lys består av elektromagnetiske bølger som er beskrevet ved en vanlig bølgeligning. Når man ser bort fra polarisasjon av lyset som man antar har en konstant vinkelfrekvens ω, kan den skrives som

${\Big (}\nabla ^{2}+{\omega ^{2} \over c^{2}}n^{2}{\Big )}U(\mathbf {r} )=0$

når lyset beveger seg i et medium med brytningsindeks n = n(r). I et område hvor denne er konstant, vil denne ha løsninger som tilsvarer plane bølger i en retning s gitt ved

$U(\mathbf {r} )=Ae^{in\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

når man benytter kompleks notasjon som for en fasevektor. Her A er en konstant amplitude som bestemmer intensiteten til bølgen, og k = k s der bølgetallet k = ω/c = 2π /λ.

At brytningsindeksen kan antas å være tilnærmet konstant, tilsvarer at den forandrer seg lite over et område som er mye større i utstrekning enn bølgelengden λ til lyset. Denne er omvendt proporsjonal med frekvensen og er avgjørende for om geometrisk optikk kan benyttes. Det var denne forståelsen av lysets gang som fikk Sommerfeld og Runge i 1911 å anta at løsningen til bølgeligningen generelt kan skrives på formen

$U(\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{ikS(\mathbf {r} )}$

hvor de ukjente funksjonene S(r) og A(r) lettere kan beregnes i grensen λ → 0 enn å løse selve bølgeligningen. Mens amplitudefunksjonen A(r) antas å varierer langsomt, befinner bølgens raske oscillasjoner seg i eksponenten sammen med eikonalfunksjonen.

Eikonalapproksimasjonen

De to funksjonene som inngår i antagelsen, kan bestemmes ved innsettelse i bølgeligningen. Da er

${\boldsymbol {\nabla }}U=({\boldsymbol {\nabla }}A)e^{ikS}+ikA({\boldsymbol {\nabla }}S)e^{ikS}$

slik at

${\begin{aligned}{\big (}\nabla ^{2}+k^{2}n^{2}{\big )}U&=k^{2}{\big [}n^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}S)^{2}{\big ]}Ae^{ikS}+(\nabla ^{2}A)e^{ikS}\\&+ik{\big [}A(\nabla ^{2}S)+2({\boldsymbol {\nabla }}A)\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}S){\big ]}e^{ikS}=0\end{aligned}}$

Både det reelle og den imaginære leddet på høyre side må være null hver for seg. I grensen hvor bølgetallet k blir veldig stort, vil bare den første delen av det reelle leddet bidra og vll derfor måtte være null. Det alene gir eikonalligningen

$({\boldsymbol {\nabla }}S)^{2}=n^{2}$

Ved å sette det imaginære leddet også lik med null, fås en differensialligning for hvordan amplitudefunksjonen varierer med posisjonen. Denne effekten sees vanligvis bort fra ved benyttelse av geometrisk optikk.

I et lite område rundt et punkt r₀ der brytningsindeksen er tilnærmet konstant, kan man utvikle eikonalfunksjonen i en Taylor-rekke. I nærliggende punkt r kan man da tilnærmet skrive S(r) = S(r₀) + ∇S⋅(r - r₀). I dette begrensete området tar derfor bølgefunksjonen formen

$U(\mathbf {r} )=A'e^{ikn\mathbf {s} \cdot \mathbf {r} }=A'e^{in\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

som er en plan bølge med bølgevektor k = k s. Innholdet av eikonalapproksimasjonen kan da sies å være at bølgebeskrivelsen av en lysstråle består av plane bølger i hvert lokalt område. Dette ligger også til grunn for WKB-approksimasjonen i kvantemekanikken.

Kvantemekanisk partikkelspredning

Egenskapene til elementærpartikler kan studeres ved å undersøke hva som skjer når de kolliderer med hverandre. Dette kan beskrives ved at den ene blir påvirket ved et vekselvirkningspotensial V(r) skapt av den andre. Tenker man seg denne liggende i ro, vil den andre partikkelen bevege seg mot dette potensialet med en impuls p og kinetisk energi E = p²/2m. Prosessen kan beskrives kvantemekanisk ved å benytte Schrödingers ligning for bølgefunksjonen ψ(r). For de aller fleste situasjoner lar denne seg ikke løse eksakt for en slik kollisjonsprosess.

Den innkommende partikkelen har en de Broglie bølgelengde λ = ħ/p der ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten. For store energier E  blir denne mindre og mindre, og man kan igjen finne en approksimativ løsning av Schrödinger-ligningen som tilsvarer å betrakte bølgeligningen for lys i grensen der den gir geometrisk optikk. I denne sammenhengen tilsvarer det å anta en form $\psi (\mathbf {r} )=e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }$ for løsningen på samme måte som i WKB-approksimasjonen. Den fremkom ved å betrakte grensen ħ → 0 som her er ekvivalent med p → ∞ da det i begge tilfeller er avgjørende at bølgelengden blir mye mindre enn utstrekningen til de områder av rommet der brytningsindeks eller potensial forandrer seg.

Etter å ha tatt denne grensen av Schrödinger-ligningen, går den over til Hamilton-Jacobi-ligningen

$({\boldsymbol {\nabla }}W)^{2}=2m(E-V)$

som har samme form som eikonalligningen for lys.

Hvis den innkommende partikkelen med impuls p beveger seg langs z-aksen og den ikke møtte noe potensial, ville den kunne beskrives som en plan bølge som tilsvarer at W = pz. Derfor er det naturlig å anta når V ≠ 0 at man kan skrive

$W(\mathbf {r} )=pz+\chi (\mathbf {x} _{T},z)$

hvor x_T = (x,y) er de to transverse retningene og funksjonen χ representerer effekten av potensialet. Innsatt i Hamilton-Jacobi-ligningen gir denne antagelsen

${\Big (}{\partial \chi \over \partial z}{\Big )}^{2}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}_{T}\chi {\big )}^{2}+2p{\partial \chi \over \partial z}=-2mV(\mathbf {x} _{T},z)$

De to første leddene på venstre side kan her neglisjeres i forhold til det tredje i grensen der p er veldig stor og funksjonen χ varierer forholdsvis langsomt. Man står da igjen med en enkel differensialligning for den ukjente funksjonen. Antar man at potensialet er null lenge før kollisjonen, må man ha grensebetingelsen χ = 0 når z → - ∞. Løsningen for den fulle bølgefunksjonen blir dermed i denne eikonalapproksimasjonen

$\psi (x,y,z)=\exp {{\Big [}{i \over \hbar }pz-{i \over \hbar v}\int _{-\infty }^{z}\!dz'V(x,y,z'){\Big ]}}$

der v = p/m er hastigheten til den innkommende partikkelen. Selv om dette resultatet er utledet fra Schrödinger-ligningen for ikke-relativistiske partikler, vil den samme løsningen også opptre ved bruke av relativistisk kvantemekanikk.

Se også

• Hamilton-optikk

Eksterne lenker

• «The Eikonal», av Heinrich Bruns, fra nettstedet Neo-classical physics (engelsk)
• «GOT01: The Eikonal Equation», av professor Gregory D. Durgin, på Youtube (engelsk)