Dualrom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Et dualrom er innen matematikk et vektorrom definert som alle funksjonaler fra et gitt vektorrom X til skalarkroppen , der er de relle tallene eller de komplekse tallene . Dualrommet til et vektorrom betegnes gjerne eller , og er i seg selv også et vektorrom. Ofte skilles det mellom algebraiske dualrom, definert generelt, og kontinuerlige dualrom, definert som kontinuerlige operatorer over normerte rom.

Dualrom er sentrale innen funksjonalanalyse, der vektorrommene gjerne er funksjonsrom.

Algebraiske dualrom[rediger | rediger kilde]

Definisjon[rediger | rediger kilde]

La være et vektorrom definert over en skalarkropp , der er eller . En lineær funksjon

.

kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X.[1] For å ikke blande dette med dualrom som definert under, kalles dette av og til også for algebraiske dualrom.[2]

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Vektorrom[rediger | rediger kilde]

La X være et vektorrom over , være skalarer, og . Da er også en funksjonal i , definert ved

.

Dersom man bruker dette til å definere addisjon og skalarmultiplikasjon, og lar funksjonalen være nullelement, gir dette at også i seg selv er et vektorrom.[3]

Dualbasis[rediger | rediger kilde]

Dersom X er endelig-dimensjonal med basis

kan man definere en basis for dualrommet slik at

der er funksjonen Kronecker-delta gitt ved

.

Dette definerer n funksjonaler, alle inneholdt i , og disse definerer også en basis for . Spesielt impliserer dette at og har samme dimensjon.[4] Basisen kalles for dualbasisen korresponderende til .[5]

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Hvis er standardbasisen bestående av enhetsvektorene

gitt som kolonnevektorer, er den korresponderende dualbasisen nøyaktig enhetsvektorene

gitt som radvektorer, ettersom hvis og bare hvis .[5]

Kontinuerlige dualrom[rediger | rediger kilde]

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Dualrom kan definert generelt, men ofte er det spesielt interessant å se på kontinuerlige funksjonaler, der X er et normert rom. Noen ganger blir derfor dualrom definert begrenset til dette:

La være et normert vektorrom definert over en skalarkropp , der er eller . En kontinuerlig lineær funksjon

.

kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X.[6][2]

Hvis man definerer en norm over , vanligvis gitt ved

er også et normert vektorrom. Denne normen kalles for dualnormen indusert av normen til .[7]

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Generelt arver kontinuerlige dualrom egenskaper fra algebraiske dualrom. Videre er (tilordnet en norm) også et Banach-rom, siden både og er komplette.[6][8]

Riesz'–Fréchet-teoremet[rediger | rediger kilde]

Riesz'–Fréchet-teoremet, også kalt Riesz' representasjonsteoremet, sier at dersom er et Hilbert-rom, har alle funksjonaler har et unikt korrepsonderende element . Mer presist, la H være et Hilbert-rom og være elementer i . Vi kan da definere en funksjonal ved indreproduktet definert for ,

.

Riesz'–Fréchet-teoremet sier at alle funksjonaler i kan kan skrives slik:

La være et Hilbert-rom og . Da finnes en unik slik at
for alle . Videre er .[9]

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Lp-rom[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Lp-rom

Det kan bevises (men er ikke trivielt) at dersom , og q enten slik at

dersom , og hvis , så er

og

.[10]

For -rom kan man, for et gitt element og enhver , definere en funksjonal ved

som er veldefinet (gitt ved Hölders ulikhet) er veldefinert og gir en kontinuerlig lineær funksjonal for -funksjoner, og det kan videre bevises at for enhver finnes en slik .[11]

For -rom kan man, for et gitt element og enhver , definere en funksjonal ved

og det kan videre bevises at for enhver finnes en slik .[12]

Referanser[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Bryan P. Rynne og Martin A. Youngson (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1-848-00004-9. 
  • Yutaka Yamamoto (2012). From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications. Philidelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM. ISBN 1-61197-231-0. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]