Debye-lengde

I plasmaer og elektrolytter er Debye-lengden (også kalt Debye-radius), oppkalt etter Peter Debye, et mål på en ladningsbærers netto elektrostatiske effekt i en løsning og hvor langt den elektrostatiske effekten vedvarer. En Debye-kule er et volum hvis radie er Debye-lengden. For hver Debye-lengde blir ladninger i økende grad skjermet elektrisk. Hver Debye-lengde $\lambda _{D}$, det elektriske potensialet vil reduseres i størrelse med 1/e. Debye-lengde er et viktig parameter i plasmafysikk, elektrolytter og kolloider (DLVO teori). Den tilsvarende Debye-screeningbølgevektoren $k_{D}={1 \over \lambda _{D}}$ for partikler med tetthet $n$, ladning $q$ ved temperatur $T$ er gitt ved $k_{D}^{2}={4\pi q^{2} \over k_{B}T}$ i gaussiske enheter. Uttrykk i MKS-enheter vil bli gitt nedenfor. De analoge mengdene ved veldig lave temperaturer ($T\rightarrow 0$) er kjent som Thomas–Fermi-lengden og Thomas–Fermi-bølgevektoren. De er av interesse for å beskrive oppførselen til elektroner i metaller ved romtemperatur.

Fysisk opprinnelse

Debye-lengden oppstår naturlig i den termodynamiske beskrivelsen av store systemer for mobilavgifter. I et system av $N$ forskjellige specier av ladninger, $j$ specier som bærer ladning $q_{j}$ og har konsentrasjon $n_{j}(\mathbf {r} )$ ved possisjon $\mathbf {r}$. Ifølge den såkalte "primitive modellen" fordeles disse ladningene i et kontinuerlig medium som bare er preget av sin relative statiske permittivitet., $\varepsilon _{r}$. Denne fordelingen av ladninger innenfor dette mediet gir et elektrisk potensial $\Phi (\mathbf {r} )$ som tilfredsstiller Poissons ligningen:

$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )$,

hvor $\varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$, $\varepsilon _{0}$er den elektriske konstanten, og $\rho _{\rm {ext}}$ er en ladetetthet utenfor (logisk, ikke romlig) til mediet.

De mobile ladningene bidrar ikke bare til å etablere $\Phi (\mathbf {r} )$ men også bevege seg som svar på den tilhørende Coulomb-kraften,$-q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )$.Hvis vi videre antar at systemet er i termodynamisk likevekt med et varmebad ved absolutt temperatur $T$, deretter vil konsentrasjonene av diskrete ladninger, $n_{j}(\mathbf {r} )$, kan betraktes som termodynamiske (ensemble) gjennomsnitt og det tilhørende elektriske potensialet for å være et termodynamisk middelfelt. Med disse antagelsene, konsentrasjonen av $j$ ladde specier bli beskrevet av Boltzmann-distribusjonen,

$n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)$,

hvor $k_{\rm {B}}$ er Boltzmanns konstant og hvor $n_{j}^{0}$ er den gjennomsnittlige konsentrasjonen av ladninger av specie $j$.

Å identifisere de øyeblikkelige konsentrasjonene og potensialet i Poisson-ligningen med deres gjennomsnittsfelt-kolleger i Boltzmanns fordeling, gir Poisson-Boltzmann-ligningen:

$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )$.

Løsninger på denne ikke-lineære ligningen er kjent for noen enkle systemer. Løsninger for mer generelle systemer kan oppnås i grensen for høy temperatur (svak kobling), $q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T$,av Taylorutvidelsen eksponentiell:

$\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}$.

Denne tilnærmingen gir den lineariserte Poisson-Boltzmann-ligningen

$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )$

som også er kjent som Debye–Hückel-ligningen: Det andre begrepet på høyre side forsvinner for systemer som er elektrisk nøytrale. Begrepet i parentes delt på $\varepsilon$, har enhetene med en omvendt lengde i kvadrat og fører ved dimensjonsanalyse til definisjonen av den karakteristiske lengdeskalaen

$\lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}$

som ofte kalles Debye–Hückel-lengden. Som den eneste karakteristiske lengdeskalaen i Debye–Hückel-ligningen, $\lambda _{D}$ setter skalaen for variasjoner i potensialet og i konsentrasjonene av ladede specier. Alle ladede specier bidrar til Debye–Hückel-lengden på samme måte, uavhengig av tegnet på ladningen. For et elektrisk nøytralt system blir Poisson-ligningen

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}$

For å illustrere Debye-screening, potensialet som produseres av en ekstern punktladning $\rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )$ is

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}$

Coulomb-potensialet blir eksponentielt screenet av mediet over en avstand av Debye-lengden.

Lengden på Debye–Hückel kan uttrykkes i form av Bjerrum-lengden $\lambda _{\rm {B}}$ som

$\lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2}$,

hvor $z_{j}=q_{j}/e$ er heltallsladingstallet som relaterer ladningen på $j$ ioniske specier til elementærladningen $e$.

I plasma

I et ikke-isotermisk plasma kan temperaturene for elektroner og tunge specier variere mens bakgrunnsmediet kan behandles som vakuum ($\varepsilon _{r}=1$), og Debye-lengden er

$\lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{i}}}}$

hvor

λ_D er Debye-lengden,

ε₀ er permittiviteten til ledig plass,

k_B er Boltzmanns konstant,

q_e er ladningen til et elektron,

T_e og T_i er temperaturene til henholdsvis elektronene og ionene,

n_e er tettheten til elektroner,

n_j er tettheten til atomarter j, med positiv ionisk ladning z_jq_e

Selv i kvasineutralt kaldt plasma, hvor ionebidrag praktisk talt ser ut til å være større på grunn av lavere ionetemperatur, faller ionebetegnelsen ofte, noe som gir

$\lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}$

selv om dette bare er gyldig når mobiliteten til ioner er ubetydelig sammenlignet med prosessens tidsskala.

Vanlige verdier

I romplasmaer der elektrondensiteten er relativt lav, kan Debye-lengden nå makroskopiske verdier, slik som i magnetosfæren, solvinden, det interstellare mediet og det intergalaktiske mediet. Se tabellen nedenfor:

Plasma	Tetthet ne(m−3)	Elektrontemperatur T(K)	Magnetfelt B(T)	Debye lengde λD(m)
Solkjerne	1032	107	-	10−11
Tokamak	1020	108	10	10−4
Gassutslipp	1016	104	-	10−4
Ionosfæren	1012	103	10−5	10−3
Magnetosfæren	107	107	10−8	102
Sol-vind	106	105	10−9	10
Interstellar medium	105	104	10−10	10
Intergalaktisk medium	1	106	-	105

I en elektrolyttløsning

I en elektrolytt eller en kolloid suspensjon er Debye-lengden for en monovalent elektrolytt betegnes vanligvis med symbolet κ⁻¹

$\kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2\times 10^{3}N_{\rm {A}}e^{2}I}}}$

hvor

I er ionestyrken til elektrolytten i molare enheter (M eller mol/L),

ε₀ er permittiviteten til vaccum,

ε_r er den dielektriske konstant,

k_B er Boltzmanns konstant,

T er den absolutte temperaturen i kelvin,

N_A er Avogadros tall.

$e$ er elementærladningen,

eller for en symmetrisk monovalent elektrolytt,

$\kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}$

hvor

R er gasskonstanten,

F er Faradays konstant,

C₀ er elektrolyttkonsentrasjonen i molar enheter (M ellermol/L).

Alternativt,

$\kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{3}I}}}$

hvor

$\lambda _{\rm {B}}$ er Bjerrum-lengden på mediet.

For vann ved romtemperatur, λ_B ≈ 0.7 nm.

Ved romtemperatur (20 ° C eller 70 ° F) kan man vurdere forholdet i vann:

$\kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}$

hvor

κ⁻¹ er utrykt i nanometer (nm)

I er ionestyrken uttrykt i molar (M eller mol/L)

Det er en metode for å estimere en omtrentlig verdi av Debye-lengden i væsker ved bruk av ledningsevne, som er beskrevet i ISO-standard, og boka.

I halvledere

Debye-lengden har blitt stadig viktigere i modelleringen av solid state-enheter ettersom forbedringer i litografisk teknologier har muliggjort mindre geometrier.

Debye-lengden på halvledere er gitt:

$L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}$

hvor

ε er den dielektriske konstanten,

k_B er Boltzmanns konstant,

T er den absolutte temperaturen i kelvin,

q er elementærladning, og

N_dop er netto tetthet av dopanter (enten givere eller akseptorer).

Når dopingprofiler overstiger Debye-lengden, oppfører ikke majoritetsbærerne seg lenger i henhold til fordelingen av dopantene. I stedet gir et mål på dopinggradientprofilen en "effektiv" profil som bedre samsvarer med profilen til majoritetsbærertettheten.

I sammenheng med faste stoffer kalles Debye-lengden også Thomas–Fermi screeninglengde.