Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
En binom er i matematikk et polynom som er summen av to monomer . Generelt kan et binom skrives som
a
x
1
e
1
x
2
e
2
⋯
x
k
e
k
+
b
x
1
f
1
⋯
x
k
f
k
{\displaystyle ax_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}\cdots x_{k}^{e_{k}}+bx_{1}^{f_{1}}\cdots x_{k}^{f_{k}}}
a
,
b
≠
0
{\displaystyle a,b\neq 0}
koeffisienter ,
k
{\displaystyle k}
e
1
,
…
,
e
k
,
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k},f_{1},\ldots ,f_{k}}
heltall og
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}
variabler . Gitt at koeffisientene
a
,
b
{\displaystyle a,b}
R
{\displaystyle R}
delmengde av polynomringen
R
[
x
1
,
.
.
.
,
x
k
]
{\displaystyle R[x_{1},...,x_{k}]}
x
+
y
{\displaystyle x+y}
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
3
x
2
−
2
y
z
{\displaystyle 3x^{2}-2yz}
x
n
−
y
n
{\displaystyle x^{n}-y^{n}}
Binomene følger de generelle regnereglene for polynomer, men binomene er ikke lukket for addisjon og multiplikasjon . Produktet av en binom og en monom er en binom. For eksempel er
(
4
x
−
6
y
)
⋅
3
x
=
12
x
2
−
18
x
y
{\displaystyle (4x-6y)\cdot 3x=12x^{2}-18xy}
Produktet av to binomer er generelt ikke en binom. For eksempel er
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
=
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
+
b
d
{\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}
Binomialsetningen: Binomen
x
+
y
{\displaystyle x+y}
n
{\displaystyle n}
(
x
+
y
)
n
=
∑
i
=
1
n
(
n
i
)
x
i
y
n
−
i
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}}
Kvadratsetningene:
(
x
±
y
)
2
=
x
2
±
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x\pm y)^{2}=x^{2}\pm 2xy+y^{2}}
Konjugatsetningen: Binomen
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
x
2
−
y
2
=
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)}
Mer generelt er
x
n
−
y
n
=
(
x
−
y
)
(
x
n
−
1
+
x
n
−
2
y
+
…
+
x
y
n
−
2
+
y
n
−
1
)
{\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots +xy^{n-2}+y^{n-1})}
![{\displaystyle R[x_{1},...,x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556329aa76f51f4144c8a1889f62ba94b551dba9)
