Adveksjonsligningen

Adveksjonsligningen er en partiell differensialligning som styrer bevegelsen til en konservert skalar når den blir advektert av et kjent vektorfelt. Den blir utledet ved å bruke skalaren sin bevaringslov sammen med Gauss' teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.

Dette beskriver det som skjer når et bevart kvantum (skalaren), for eksempel varme, vann, mudder ol. transporteres med og spres i (adekveres av) en strømning (vektorfeltet) i f.eks. vann eller luft. Spesifikt brukes adveksjonsligningen ofte for å beskrive den horisontale transport av varme og fuktighet som foregår i luftmasser.

Det beste eksempel på dette er kanskje transport av oppløst salt i vann.

Matematisk kan en uttrykke adveksjonsligningen som:

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\psi {\mathbf {u} }\right)=0

der ∇· er divergensen. $\psi$ er skalæren og $\mathbf {u}$ er vektorfeltet. Ofte tenker en seg at hastighetsfeltet er solenoidalt, altså er $\nabla \cdot {\mathbf {u} }=0$ . Når dette er oppfylt blir ligningen over redusert til

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0.

Hvis strømmen er laminær, er ${\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0$ som viser at $\psi$ er konstant langs en strømlinje.

Adveksjonsligningen er ikke enkel å løse numerisk: Systemet er en hyperbolsk partiell differensialligning, og interesseområdet er vanligvis diskontinuerlige «sjokkløsninger» (som er svært vanskelig å takle for numeriske skjema).

Selv med konstant fart og et endimensjonalt rom er systemet vanskelig å simulere (det er en standardtest for adveksjonsskjema som kalles grisehusproblemet). Ligningen over blir da:

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0

der $\psi =\psi (x,t)$ .

Ifølge Zan [2] kan en skjevsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løsningen.

{\frac {1}{2}}{\mathbf {u} }\cdot \nabla {\mathbf {u} }+{\frac {1}{2}}\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })

der $\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })$ er en vektor med komponenter $[\nabla ({\mathbf {u} }u_{x}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{y}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{z})]$ der en har brukt notasjonen ${\mathbf {u} }=[u_{x},u_{y},u_{z}]$ .

Siden skjevsymmetri bare medfører komplekse egenverdier, reduserer denne formen «oppblåsning» og «spektral blokkering», som en ofte får i numeriske løsninger med skarpe diskontinuiteter (se Boyd [1] pp. 213).

Andre størrelser

Adveksjonslignen gjelder også om størrelsen som blir advektert er representert ved en tetthetsfunksjon i hvert punkt, men å regne ut diffusjonene er da vanskeligere.

Se også

Kilder

Boyd, J.P.: 2000, Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd edition, Dover, New York
Zang, T: 1991, On the rotation and skew-symmetric forms for incompressible flow simulations, Applied Numerical Mathematics,7,27-40.

Autoritetsdata