Adveksjonsligningen

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Adveksjonsligningen er en partiell differensialligning som styrer bevegelsen til en konservert skalar når den blir advektert av et kjent vektorfelt. Den blir utledet ved å bruke skalaren sin bevaringslov sammen med Gauss' teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.

Dette beskriver det som skjer når et bevart kvantum (skalaren), for eksempel varme, vann, mudder ol. transporteres med og spres i (adekveres av) en strømning (vektorfeltet) i f.eks. vann eller luft. Spesifikt brukes adveksjonsligningen ofte for å beskrive den horisontale transport av varme og fuktighet som foregår i luftmasser.

Det beste eksempel på dette er kanskje transport av oppløst salt i vann.

Matematisk kan en uttrykke adveksjonsligningen som:

der ∇· er divergensen. er skalæren og er vektorfeltet. Ofte tenker en seg at hastighetsfeltet er solenoidalt, altså er . Når dette er oppfylt blir ligningen over redusert til

Hvis strømmen er laminær, er som viser at er konstant langs en strømlinje.

Adveksjonsligningen er ikke enkel å løse numerisk: Systemet er en hyperbolsk partiell differensialligning, og interesseområdet er vanligvis diskontinuerlige «sjokkløsninger» (som er svært vanskelig å takle for numeriske skjema).

Selv med konstant fart og et endimensjonalt rom er systemet vanskelig å simulere (det er en standardtest for adveksjonsskjema som kalles grisehusproblemet). Ligningen over blir da:

der .

Ifølge Zan [2] kan en skjevsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løsningen.

der er en vektor med komponenter der en har brukt notasjonen .

Siden skjevsymmetri bare medfører komplekse egenverdier, reduserer denne formen «oppblåsning» og «spektral blokkering», som en ofte får i numeriske løsninger med skarpe diskontinuiteter (se Boyd [1] pp. 213).

Andre størrelser[rediger | rediger kilde]

Adveksjonslignen gjelder også om størrelsen som blir advektert er representert ved en tetthetsfunksjon i hvert punkt, men å regne ut diffusjonene er da vanskeligere.

Se også[rediger | rediger kilde]

Kilder[rediger | rediger kilde]