Traktrise

Hunden befinner seg i utgangspunktet her i punktet (4,0) slik at a = 4. Avhengig av om eieren går langs den positive eller negative y -aksen, oppstår to tilsvarende hundekurver.

Traktrise (fra latinsk trahere - å trekke ) er en matematisk kurve som i dagligtale ofte blir kalt for hundekurven. Historisk knyttes kurven til den tyske filosof og matematiker Gottfried Leibniz som rundt 1690 ble stilt spørsmålet om hvilken kurve beskrives av en gjenstand som blir trukket i et stramt bånd på et horisontalt underlag som gir friksjon til bevegelsen. I praksis kan kurven observeres når en gjenstridig hund trekkes med i et stramt bånd.

Kurvens matematiske egenskaper hadde blitt undersøkt allerede av Isaac Newton i 1676, mens dens analytiske form ble utledet av Christiaan Huygens i 1692 og Leibniz i 1693 ved bruk av den nye differensialregningen. Løsningen viser seg å ha flere interessante egenskaper. For eksempel, så har den en evolute som er en kjedelinje. Roteres kurven om y -aksen, fremstår en krum flate som oppviser hyperbolsk geometri. I motsetning til kuleflaten som har konstant, positiv krumning, har denne rotasjonsflaten konstant, negativ krumning og kalles en pseudosfære eller «traktroide».

Matematisk utledning

Hunden i punktet (x,y)  beskriver en del av en traktrise (rød) med tangent (blå) som tilsvarer båndet til hundeeieren i avstand at fra origo O.

Som et eksempel kan man tenke seg en gjenstridig hund på x - aksen til et kartesisk koordinatsystem i en viss avstand a  fra origo hvor hundens eier står og holder hunden stramt i et bånd. Når så eieren langsomt begynner å gå langs y - aksen og hunden hele tiden stritter imot, vil hunden beskrive en kurve etter som den blir dratt med av sin eier. Siden hunden hele tiden stritter imot, er båndet til den alltid stramt og kan likså godt erstattes av en stiv stang med samme lengde som båndet. Til slutt ender hunden også på y - aksen hvor den blir dratt videre i denne retningen av eieren.

Båndets lengde er a  og det danner til vinkelen θ  med y - aksen som vist i figuren. Derfor er x - koordinaten til hunden x = a sinθ  hvor dx/dy = - tanθ  som fremgår av figuren da båndet er tangensielt til kurven. Det gir differensialligningen

${dy \over dx}=-{{\sqrt {a^{2}-x^{2}}} \over x}$

hvor minustegnet skyldes at y  øker når x avtar. Løsningen kan finnes ved at å anta at hunden starter ut i punktet (a,0). Ved direkte integrasjon finnes da hundens posisjon ved et senere tidspunkt.

Integrasjonen kan gjennomføres ved å bruke u = √(a² - x²)  som ny integrasjonsvariabel. Da er u du = -x dx  slik at

${dy \over du}={u^{2} \over a^{2}-u^{2}}={a \over 2}\left({1 \over a+u}+{1 \over a-u}\right)-1$

Hvert ledd kan her integreres ved bruk av elementære funksjoner. Det er mulig å skrive resultatet på flere måter, blant annet som

$y={1 \over 2}\ln {a+u \over a-u}-u=a\ln {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}} \over x}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

Dette gir formen på hundekurven langs den positive y - aksen. Med motsatt fortegn beskriver den en tilsvarende kurve langs den negative y - aksen. Tilsammen utgjør de hele traktrisen.

I visse sammenhenger er det nyttig å benytte vinkelen θ  som uavhengig variabel via sammenhengen x = a sinθ. Da blir

${dy \over d\theta }=-a\left({1 \over \sin \theta }-\sin \theta \right)$

Begge leddene her kan nå direkte integreres og gir den parametriserte løsningen

$y=-a\left(\ln \tan {\theta \over 2}+\cos \theta \right)$

Det første leddet lar seg forenkle ved å benytte den trigonometriske identiteten tanθ/2 = 1/sinθ - cotθ. Her er nå sinθ = x/a slik at svaret blir

$y=-a\ln {a-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}} \over x}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

Dette er i overensstemmelse med det forrige svaret da argumentene til logaritmene er inverse til hverandre.

Alternativ parametrisering

Det første leddet i løsningen har samme form som den inverse hyperbolske funksjonen arcosh(a/x). Mer nøyaktig, den siste formen av løsningen kan skrives som

$y=a\operatorname {arcosh} {a \over x}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

Denne kan man komme direkte frem til ved å bruke den alternative parametriseringen x = a/cosht. Det gir differensialligningen dy/dt = a tanh²t. Ved å benytte identiteten cosh²t - sinh²t = 1, kan denne ligningen direkte integreres. Det gir det fulle svaret på parametrisert form,

${\begin{aligned}x&={a \over \cosh t}\\y&=a(t-\tanh t)\\\end{aligned}}$

Benytter man her at sinht = √(a² - x²)/x samtidig som t = arcosh(a/x), er dette samme svaret som tidligere. Sammenligner man med resultatet uttrykt ved vinkelen θ, må derfor t = - ln tan(θ/2) . Det er konsistent med tanht = cosθ  som også kan leses direkte ut av løsningene.

Parameteren t  starter ut med verdien t = 0  som tilsvarer θ = π/2. Etterhvert som hundeeieren går langs den positive y - aksen, vokser parameteren t, mens vinkelen θ  avtar og går til slutt mot null. Da man nå kan skrive hundens y - koordinat som y = a(t - cosθ), ser man fra figuren at mannens posisjon langs denne aksen til enhver tid er gitt ved den første termen at. Den nedre del av traktrisen langs den negative y - aksen er beskrevet av vinkler θ > π/2 som tilsvarer negative verdier av parameteren t.

Egenskaper

Arealet mellom den øvre hundekurven og x - aksen er gitt ved integralet ∫ ydx tatt mellom null og x = a. En slik integrasjon er vanskelig. Derimot, hvis man utfører det tilsvarende integralet ∫ xdy = ∫ dxx(dy/dx) mellom de samme grensene, reduseres beregningen til integralet

${A \over 2}=\int _{0}^{a}\!dx{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}={1 \over 4}\pi a^{2}$

som er lik arealet av en sirkelkvadrant med radius a. Et tilsvarende areal resulterer fra kurven for negative verdier av y. Det fulle arealet mellom traktrisen og hele y - aksen er derfor A = π a²/2.

Krumning

Fra den generelle formelen

$\kappa ={y'' \over (1+y'^{2})^{3/2}}$

for krumningen til en plan kurve y = y(x), finner man ved direkte derivasjon av y' = - √(a² - x²)/x at den blir

$\kappa ={x \over a{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$

Med x = a sinθ  gir dette κ = (1/a) tanθ. Som ventet er derfor krumningen størst i nærheten av endepunktet (a,0) hvor vinkelen θ nærmer seg π /2.

Buelengde

Betrakter man to punkt på den øvre hundekurven med x - koordinater x₁  og x₂, er de separert ved en buelengde

${\begin{aligned}L&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!ds=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!dx{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!dx{\sqrt {1+y'^{2}}}=a\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!{dx \over x}=a\ln {x_{2} \over x_{1}}\\\end{aligned}}$

da y' = dy/dx. Det betyr at buelengden mellom et vilkårlig punkt på kurven og endepunktet (a,0)  er s = a ln(a/x). Ved å la x → 0, ser man at hundekurven er uendelig lang.

Naturlig parametrisering

Kjedelinjen er evoluten til traktrisen. Omvendt er traktrisen involuten til kjedelinjen.

Dette resultatet for buelengden gjør det mulig å finne den naturlige parametriseringen av hundekurven, det vil si ved hjelp av dens buelengden s. Definerer man nå x' = dx/ds og y' = dy/ds, vil x'² + y'² = 1. Da nå

$y'={dy \over ds}={dy/dx \over ds/dx}=-{x' \over x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},$

kan x'  bestemmes med resultatet x' = - x/a. Ved direkte integrasjon gir det den naturlige parametriseringen

$x=ae^{-s/a}$

Det er ikke noe annet enn en omskrivning av det tidligere resultatet s = a ln(a/x) for buelengden. Innsatt i uttrykket for y' , betyr det at

${dy \over ds}={\sqrt {1-(x/a)^{2}}}={\sqrt {1-e^{-2s/a}}}$

Herav kan nå finnes ved direkte integrasjon den naturlige parametriseringen y = y(s) av den andre koordinaten. Når buelengden s  er blitt mye større enn lengden a, øker den lineært med buelengden, og man har ganske enkelt at y = s.

Evolute

Man kan definere evoluten til en kurve som omhyllingskurven til alle dens normaler. Fra animasjon ser man at dette gir en ny kurve som ser ut som en parabel. En nøyaktig beregningen viser derimot at evoluten til traktrisen er en kjedelinje. Bare rundt sitt laveste punkt har den form som en parabel.

Per definisjon er derfor normalene til traktrisen tangenter til kjedelinjen. Hvis man tar en av disse tangentene og betrakter ett bestemt punkt på den, så vil dette beskrive en nye kurve hvis man lar tangenten rulle langs kjedelinjen som i animasjonen. Den kalles for involuten til kjedelinjen og er derfor en traktrise.

Litteratur

• H.J.M. Bos, Lectures in the History of Mathematics, American Mathematical Society, New York (1993). ISBN 0-8218-0920-2.
• E. H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge University Press, England (1967). ISBN 0-5210-4444-8.
• D.J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Dover Publications, New York (1961). ISBN 0-4866-5609-8.