Superellipse

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Superellipser:
a = 1,0, b = 0,75
n = 0,15, 2/3, 1, 2, 2,5 og 500

En superellipse er en matematisk kurve som kan oppfattes som en mellomting mellom en ellipse og et rektangel. En superellipse kan i et kartesisk koordinatsystem beskrives som mengden av punkter (x, y) som oppfyller ligningen

\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1

hvor n, a og b er reelle tall > 0.

a og b er figurens halvakser. Formelen er en generalisering av formelen for en ellipse hvor n = 2. For n større enn 2 fås en superellipse, og for n mellom 0 og 2 fås en subellipse.

Kurvene ble først beskrevet av den franske fysiker og matematiker Gabriel Lamé (17951870), men de ble gjort kjent og navngitt superellipse av Piet Hein.

Praktisk bruk[rediger | rediger kilde]

Byplanleggere i Stockholm hadde problemer med et rektangulært torg i byen, Sergels torg. Ønsket var en bløt og smidig kurve som kunne bryte opp det firkantede inntrykket, uten å ende i sirkler. Piet Hein løste problemet ved å legge inn en superellipse med n = 2,5. Piet Hein brukte også superellipsen i arkitektur og møbeldesign.

En bordplate med superelliptisk form gir noe bedre albuerom og rommer litt mer enn en elliptisk bordplate gjør. En veiingeniør har påpekt at det kan oppnås betydelig brennstoffinnsparing ved å endre kurvene i inn- og utkjøringene til motorveier til spesielle varianter av samme formel. Dette fordi nødvendige fartsendringer blir optimale i forhold til å bruke andre kurver.[trenger referanse] (Påstanden ble fremsatt i tidsskriftet Farmand i 1960-årene. Matematikken ble bare nevnt, men ingeniøren viste til likheten mellom kurvaturen i superellipsen sammenlignet med den optimale kjørekurve, som det finnes utallige spor av, både på veinettet (piggdekkspor/hvor forsvinner stripemalingen først) i form av slitasjemerker - og på bilracebaner rundt om. Han hevdet at siden denne kurven maksimaliserte hastigheten og ga mindre akselerasjon i forhold til friksjon, tyngdepunkt og annet, ville drivstoffbruken nødvendigvis gå ned.)

Superegget

Piet Hein oppfant også det såkalte superegg som er en tredimensjonal superellipsoide (en superellipse med n = 2,5, a = 4 og b = 3 rotert omkring x-aksen):


\left|\, \sqrt{\frac{x^2+y^2}{3^2}} \,\right|^{2{,}5} + \; \left|\, \frac{z}{4} \,\right|^{2{,}5} = 1

Superegget kan i motsetning til en alminnelig ellipsoide stå oppreist på en flat overflate fordi krumningsradiene i toppunktene er uendelig store.


Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]