Stokastisk differensialligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En stokastisk differensialligning er en differensialligning hvor minst ett av leddene er en stokastisk prosess noe som ofte betraktes som "støy". Dette resulterer i at den stokastiske differensialligningen selv er en stokastisk prosess.

Stokastiske differensialligninger er formulert via sine stokastiske integraler siden den vanligste "støyen" er den Brownske bevegelsen. Denne stokastiske prosessen er ikke-derivebar nesten overalt og differensialet lar seg dermed ikke formulere på noen meningsfull måte. Andre stokastiske prosesser kan også benyttes for å representere støy, blant annet Levy-prosesser eller generelle semimartingaler.

Teorien rundt stokastiske differensialligninger ble utviklet på midten av 1900-tallet og senere blant annet av Kiyoshi Itō, som formulerte Itôs Lemma som er tilsvarende til analysens fundamentalteorem.

Anvendelser[rediger | rediger kilde]

Stokastiske differensialligninger blir mye brukt i blant annet matematisk finans. Fisher Black og Myron Scholes publiserte en artikkel i 1973 hvor de tok utgangspunkt i at aksjers dynamikk kunne beskrives ved den stokastiske differensialligningen

d S_t = \alpha S_t dt + \sigma S_t dW_t,

hvor \alpha,\sigma \in \mathbb{R} og W_t er en standard Brownsk bevegelse. Dette har siden blitt omtalt som Black-Scholes-modellen.